驚覺數學有多美！浪費才能「歐派函數」連日本東大生都著迷 | 鍵盤大檸檬 | ETtoday新聞雲
日本多間大學理工科的數學愛好者，組成「歐派函數熱情注入委員會」，研究函數之美，以下是其中一間大學的作品：
Friday, December 21, 2018
數學的迷人曲線
唔轉發對唔對我個Blog嘅title.
驚覺數學有多美！浪費才能「歐派函數」連日本東大生都著迷 | 鍵盤大檸檬 | ETtoday新聞雲
日本多間大學理工科的數學愛好者，組成「歐派函數熱情注入委員會」，研究函數之美，以下是其中一間大學的作品：
驚覺數學有多美！浪費才能「歐派函數」連日本東大生都著迷 | 鍵盤大檸檬 | ETtoday新聞雲
日本多間大學理工科的數學愛好者，組成「歐派函數熱情注入委員會」，研究函數之美，以下是其中一間大學的作品：
Friday, May 18, 2018
為何3×2=2×3? (再續)
如果有兩種不同定義的運算, 給發現如來得出相同結果, 數學家就會把兩者看作一樣.
換句話說, 假設一開始時數學家定義了兩種乘法:
m x n = m+...+m (n 個)
m * n = n+...+n (m 個)
接着數學家知道了 mxn=m*n, 他們就會毫不猶疑也接受 m x n = n+...+n (m 個)
換句說話, 除了開頭不知兩者相等的情況, 其他時候數學家會隨便使用兩個定義.
唯一例外情況, 是出習作時, 會故意強迫學生使用其中一個定義, 以強化他們的邏輯思維.
例如: 從(課本上的)定義出發, 證明2 × 3 = 3 + 3.
正確答案: 從定義出發, 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 而 3+3=6, 所以2 × 3 = 3 + 3.
這裡, 我們不能直接寫 2 × 3 = 6, 而一定要寫 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 皆因我們要從定義出發.
能力稍遜的學生, 通常不喜歡這類題目, 因為由定義出發, 通常較煩且少了很多可用的工具.
在數學發展史上, 若有兩個看似不同的概念, 給證明了是同一回事, 必定是一件大新聞. 因為本來的兩個概念, 都各自有不同的思考方法及數學工具. 兩者結合, 就多了很多思考方法及工具可用, 會造成數學的一次大躍進.
換句話說, 假設一開始時數學家定義了兩種乘法:
m x n = m+...+m (n 個)
m * n = n+...+n (m 個)
接着數學家知道了 mxn=m*n, 他們就會毫不猶疑也接受 m x n = n+...+n (m 個)
換句說話, 除了開頭不知兩者相等的情況, 其他時候數學家會隨便使用兩個定義.
唯一例外情況, 是出習作時, 會故意強迫學生使用其中一個定義, 以強化他們的邏輯思維.
例如: 從(課本上的)定義出發, 證明2 × 3 = 3 + 3.
正確答案: 從定義出發, 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 而 3+3=6, 所以2 × 3 = 3 + 3.
這裡, 我們不能直接寫 2 × 3 = 6, 而一定要寫 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 皆因我們要從定義出發.
能力稍遜的學生, 通常不喜歡這類題目, 因為由定義出發, 通常較煩且少了很多可用的工具.
在數學發展史上, 若有兩個看似不同的概念, 給證明了是同一回事, 必定是一件大新聞. 因為本來的兩個概念, 都各自有不同的思考方法及數學工具. 兩者結合, 就多了很多思考方法及工具可用, 會造成數學的一次大躍進.
Thursday, May 17, 2018
為何3×2=2×3? (續)
朋友在談論3×2=2×3時，指出小學老師提及
2 × 3 = 2 + 2 + 2
3 × 2 = 3 + 3
兩者雖然相等, 但概念不同.
這個可以帶出很多話題, 不過我想最多人注意的是:
如果有個小學生寫2 × 3 = 3 + 3算唔算錯?
注意, 我強調小學生. 因為過了小學, 再沒有人理會這件事.
我的答案是: 不清楚.
原因是"="本身有不同的意思.
"A=3" 的第一個意思是"把A的數值設為3", 第二個意思是"經過計算, 發現A的數值是3".
"f(x)=x+4" 的第一個意思是"把f(x)定義為x+4", 第二個意思是"經過計算, 發現f(x)的值是x+4".
有些人為了分開兩種意思, 故意用不同的符號. 例如用":="代表定義, "="是原本第二個的意思.
換句話說, 如果教科書上寫"m × n:=m+m+...m (n 個 m)", 則"2 × 3 := 3 + 3"是錯, 而"2 × 3 = 3 + 3"是對的.
不過, 小學課本基本上沒有區分"="的兩個意思, 所以嘛......
2 × 3 = 2 + 2 + 2
3 × 2 = 3 + 3
兩者雖然相等, 但概念不同.
這個可以帶出很多話題, 不過我想最多人注意的是:
如果有個小學生寫2 × 3 = 3 + 3算唔算錯?
注意, 我強調小學生. 因為過了小學, 再沒有人理會這件事.
我的答案是: 不清楚.
原因是"="本身有不同的意思.
"A=3" 的第一個意思是"把A的數值設為3", 第二個意思是"經過計算, 發現A的數值是3".
"f(x)=x+4" 的第一個意思是"把f(x)定義為x+4", 第二個意思是"經過計算, 發現f(x)的值是x+4".
有些人為了分開兩種意思, 故意用不同的符號. 例如用":="代表定義, "="是原本第二個的意思.
換句話說, 如果教科書上寫"m × n:=m+m+...m (n 個 m)", 則"2 × 3 := 3 + 3"是錯, 而"2 × 3 = 3 + 3"是對的.
不過, 小學課本基本上沒有區分"="的兩個意思, 所以嘛......
為何3×2=2×3?
近日, 有朋友在網上談及"為何3×2=2×3?" 令我想起一個舊笑話:
老師: 為何3×2=2×3?
學生: 因為都是6.
老師: 錯!
學生: 因為乘法符合交換律.
老師: 對了!
當然, 學生第一個答案沒錯, 第二個答案反而不自然. 就讓我來說一說.
先來一個日常生活的例子
甲是乙的生母的定義是甲是把乙生下來的女人.
請看如下兩句:
讓我們入數學正題
×符合交換律的定義是對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.
請看如下兩句:
好了, 讓我們看看
問: 為何2×3=3×2?
答: 因為乘法符合交換律, 所以2×3=3×2.
邏輯正確, 但明明2×3=3×2是交換律的其中一個條件, 這樣寫法有點倒果為因.
問: 為何2×3=3×2?
答: 因為2×3=6及3×2=6, 所以2×3=3×2.
清楚, 明白, 簡單, 直接, 自然!
那麼, 何時才用交換律呢? 就在不要嘗試計算乘積的時候!
問: 為何x2y=yx2?
答: 因為乘法符合交換律, 所以x2y=yx2.
我們x,y可以是任何數, 我們沒法驗證所有情況, 所以用到交換律.
問: 為何1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883?
答: 因為乘法符合交換律, 所以1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883.
我這個覺得可以接受, 因為我不願意花時間把乘積計算出來.
老師: 為何3×2=2×3?
學生: 因為都是6.
老師: 錯!
學生: 因為乘法符合交換律.
老師: 對了!
當然, 學生第一個答案沒錯, 第二個答案反而不自然. 就讓我來說一說.
先來一個日常生活的例子
甲是乙的生母的定義是甲是把乙生下來的女人.
請看如下兩句:
- 因為沈殿霞生下了鄭欣宜, 所以沈殿霞是鄭欣宜的生母.
- 因為沈殿霞是鄭欣宜的生母, 所以沈殿霞生下了鄭欣宜.
讓我們入數學正題
×符合交換律的定義是對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.
請看如下兩句:
- 因為對所有數字a及b, 都有a×b=b×a, 所以乘法符合交換律.
- 因為乘法符合交換律, 所以對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.
好了, 讓我們看看
問: 為何2×3=3×2?
答: 因為乘法符合交換律, 所以2×3=3×2.
邏輯正確, 但明明2×3=3×2是交換律的其中一個條件, 這樣寫法有點倒果為因.
問: 為何2×3=3×2?
答: 因為2×3=6及3×2=6, 所以2×3=3×2.
清楚, 明白, 簡單, 直接, 自然!
那麼, 何時才用交換律呢? 就在不要嘗試計算乘積的時候!
問: 為何x2y=yx2?
答: 因為乘法符合交換律, 所以x2y=yx2.
我們x,y可以是任何數, 我們沒法驗證所有情況, 所以用到交換律.
問: 為何1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883?
答: 因為乘法符合交換律, 所以1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883.
我這個覺得可以接受, 因為我不願意花時間把乘積計算出來.
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