她可以進電影院嗎?

Elizabeth Goldring 將利用最新科技, 在失明的眼中植入儀器, 同時作三件事: 嘗試刺激視覺神經, 收集數據供研究人員使用, 與同好經互聯網分享所見內容。

問題: 她可不可以進入電影院?

Seeing Machine Helps Blind See Pictures

金融與量子力學

金融界人士與量子物理學家有啥相同？他們都是整天接觸『希爾怕特空間』的人，而希爾怕特空間，是一種尖端數學啊！



在中學念附加數時，知道有一樣東西，名曰『矢量』（vector）。矢量非常有用，可以幫助研究方位，力場，速率等等。它通常以一個箭頭表達，所以叫作矢量，有箭尾作為起始點，有長度，還有方向。因為是個有方向的量，所以亦稱為『向量』，但在超高維度的空間，方向不大好說，所以我們改為考慮兩個箭頭的夾角，及一個相應的專有名詞－內積（inner product）。希爾伯特空間，就是這樣的高維空間。

量子力學中的超弦理論，可以高達廿六維。無怪乎量子力學家要整天與希爾伯特空間打交道。

金融界也不弱，如果我們把不同的衍生工具看作矢量，則箭尾就是期望值（expectation），長度就是標準差（standard derivation），來角就是相關系數（correlation），而內積就是協方差（covariance），這活脫就是個希爾伯特空間！

我們為着了解量子力學的研究，不計回報投入大量金錢建造大型粒子撞擊機，不管它可能製造出黑洞；所以我們亦應該抱着同一精神，為着了解經濟學，不計回報投入衍生工具市場，不管它可能製造出金融海嘯！這樣的話，我們都可以為自己對未來的無私奉獻，感到自豪！

色誘僵屍魚

很久沒寫『色』了!

剛看到Discovery Magazine在的一篇文章Fake Love Pheromone Lures Invasive Vampire Fish to Their Doom，談及八目鰻－因為會吸血，西人有時把它叫做僵屍魚。會吸血的，就不是好東西！科學家發現，只要利用小量的仿製雄性賀爾蒙，就可以吸引雌性八目鰻自頭羅網，從而控制其數量。

這發現突破之處，在於魚類算是高等生命，但竟然會受單一賀爾蒙所左右。

不過對一般人來說，這倒沒甚麼奇怪，君不見很多小說故事都有愛情配方嗎？現實有否這種配方不得而知，但人類體內卻有一種俗稱『愛情賀爾蒙』的Oxytocin，它影嚮人類的社交行為，最近有研究指它是協助人類分辨面孔能力的重要化學物。請看"Love hormone" may also help us recognize faces。

噢，忘記提起，人體通常會在性行為時，產生最大量的Oxytocin。

美麗的日子，「可憐」的導遊

湛山寺	湛山寺
湛山寺	天后古廟
天后古廟	布袋澳

一年一度，港大數學系outing的日子。今次決定由旅行社安排，早上乘車到西頁湛山寺及天后古廟參觀，然後到毗鄰的布袋澳食海鮮餐作午飯。天氣大好，不熱不冷，好一個郊遊日子。

雖然我較為喜歡行山，但可能人數太多，由旅行社安排簡單一些。唯一問題就是那個導遊，當成一般給老人家的旅行團來搞。天啊，這是數學系教職員及研究生來呀！最搞笑的，回程時她竟然要唱歌助興。半團的少年人不受這套，不知那個捉狹的叫她唱『義勇軍進行曲』，她那不大靈光的普通話及不大好的歌藝，被暗笑為最劣之國歌－研究生泰半是大陸學生，唱國歌大的！這個導遊是很努力，但對於這班柴娃娃的旅客，無為而治可能更好。

新年快樂

肥尾的投資

統計學有個中心極限定理：凡一個概率分佈有可定義的期望值與標準差，則大量數據的平均值程現正態分佈，且相關期望值及標準差，與原本概率分佈同。

翻譯成財金用語：凡一件金融工具有可定義的定價與可定義的波動性，則當市場的交易足夠多時，其數據就會程現『鐘形曲線』。此時我們就可以利用市場數據，得出該金融工具的真正定價及波動性，從而作出適當投資。

而然，有一些奇異期權（exotic option）的市場數據卻不是『鐘形曲線』，這就是所謂肥尾現象（fat tail）。大多數金融專家，條件反射地認為是數據未夠多，於是他們會找出市面上一些性質相似的衍生工具作為類比，來推測這些奇異期權的真正價值及風險。

金融學裡有各式各樣的分析方法，來補足數據不足的缺撼。但應用這些分析方法的先決條件，卻是要估計奇異期權的大約數學模型。但若然開始便估錯，就會用錯分析方法，得出錯誤的結論。而最常見的錯誤，當然就是低估風險！

但若然肥尾現象並不是由數據不足引起呢？亦即是定價或波動性不能定義，那便如何？這時候無論多少市場數據，都不可以反映該金融工具的真實性質！這類型的金融工具，實與賭博無異。

有一派經濟學家認為多數衍生工具，其實都是這種離經叛道，不可以由以往數據得出市場真象的賭博。讓我們向上天禱告，希望他們的研究論點是錯的，否則不如把港交所改建為威尼斯人算了！

Lie Group 及 Killing Field

我今日想寫這Lie Group及Killing Field。

謊話成群及殺戳戰場？這個題目不錯！想想古往今來，多少高高在上的，為了自己的利益－金錢權力或千古威名－編造各式各樣的謊言，來發動戰爭。多少個殺戳戰場，幾多個生靈塗炭！美國布殊謊稱前伊拉克政權有大殺傷力武器，現在美軍在伊拉克進退不得；俄羅斯說格魯吉亞進行種族清洗，以維護和平之名入侵，多少家破人亡！

不，不，不！我沒有那麼激情。我說的Lie Group，中文叫李群，是由數學家Sophus Lie所建立的一個代數結構，現在是量子力學的理論支柱。Killing Field的中文是基靈場，是由另一個數學家Wilhelm Killing所創，是研究Lie Group的主要工具。

哎呀，你想說數學嗎？算了罷！香港人就算口中不說，骨了裡也壓根兒不喜歡數學，除了如果可以幫助考試的數學外！

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《The Trisectors》-你我都可能是主角

初讀到數學教授Underwood Dudley的《The Trisectors》時，對書中人物感到可笑復可悲，但回心一想，有點汗流狹背，自己會不會也是如此？

《The Trisectors》中的人物，都是畢生追求解決著名的『三等分任意角』問題。這是古希臘三大幾何學問題之一，要求用一個圓規及沒有刻度的直尺，把一個角切割為三等分。

三等分角問題，其實早於１８３７年由Pierre Wantzel證明是不可能的。證明用到了一些高等數學，這裡不詳談，但可以簡單的解說：我們可以用圓規直尺構作出６０°，但卻不可以構作出２０°，所以沒有方法把一個隨意給出的角度三等分。

而然年復一年，仍然有人知其不可為而為知，努力追求一個不可能的夢想。是改變世界的衝動？是一夕成名的慾望？是對傳說中奬金的貪婪？是不相信數學專家？是對數學證明的不瞭解？

這些追夢者，往往希望得到認同，但他們與數學家的交流，幾乎全部都是不愉快的結局。他們認為數學家不肯接受新觀點，甚至認為被權威打壓。在作者的接獨中，只有一個罕見例外。

這個例外，是位老人，作者筆下的君子。在得到作者與社區對其研究精神的肯定後，心滿意足地離開這個追夢的死胡同。

忽地想起，自己在網上對文化、科學、社會等大放厥詞，說得天花亂墜。究意是真的理直氣壯，還是墮進邏輯怪圈而不自知？還好，似乎尚未發生竭斯底里的人身攻擊戰。希望其他人說起自己時，起碼能像那位老人家，受到一點尊重。

市場的（異常）行為

《The (mis)behaviour of markets》並不是討論為甚麼有市場泡沬或金融海嘯等異常情況，而是要告訴大家：市場並沒有異常，一切只是建基於錯誤理解的幻覺！

本書的主要作者Benoît Mandelbrot是一個數學奇人，他的金融理論，經濟學家都聽過讀過，不大相信但又不敢貿然否定。Mandelbrot的主要理論，是市場的波動並非簡單的布朗運動，而是其他遠較複雜的碎形曲線。

碎形（fractal）是Mandelbrot於１９７５年創造的一個詞，用來討論一些「粗糙」的幾何圖案。以往數學家多數專注於如多邊形、圓形、螺形等好看的形狀，但無論抽象或現實世界，不大受注目的圖形佔絕大多數。由於Mandelbrot的努力，碎形幾何這個數學旁枝，現在已是一個炙手可熱的學科。最為人知的碎形Mandelbrot set，便是以他命名。

最常見的碎形，就是有自我相似（self-similar）特性的，即不斷如何放大縮小，看起來也差不多。經濟學家發現，市場的波動，就有這樣的自我相似性，無論圖表是以一小時，一天，一個月，甚或一年做單位，看起來都是一個模樣！

市場波動是碎形，那一種呢？主流經濟學家認為，股票與市場的關係，就如水分子與河流一樣。在一種完美的流體中，分子的活動的完全隨機，以一種稱為布朗運動（Brownian motion）的形式前進；而在一個所有人都理性的世界，股市的的起跌也完全隨機，所以亦會是布朗運動。這就是金融數學鼻祖Louis Bachelier有名的有效市場假設（Efficient-market hypothesis）。

但．．．但．．．但是，人不都是理性的啊！世界上沒有完美流體，分子的活動會給流體的黏性支配；不同的股票市場，應該都有如黏性的東西，只要能夠掌握，就可以預測市場動向！投資機構，於是聘請對流體力學最熟悉的人，稱為『火箭專家』（Rocket Scientist）。所以說，就是因為相信人不是理性，才會有投機活動！

Mandelbrot認為，人不都是理性，所以市場活動也不是像水一般簡單。流體，完美與否，擾動覆度相對較小，出現大崩市的機乎微乎其乎，但這百年出現過多少過金融風暴了。所以，股票的升跌，並不是完全隨機，卻比這個更槽：市場活動是一個遠為複離的碎形，出現所謂大波動根本是必然現象。

書中引述一位經濟學家之言：『Mandelbrot的理論若是真的，會做成很大衝激，起碼我們現今所有（包括正統經濟學，或亂來的金融機構）的分析工具，都可以掃進垃圾桶！』Mandelbrot不以為然，但認為這樣的態度，可能是導致自己理論不受歡迎的主要原因。

理性的人?!

亞當‧史密夫的經濟學假設『所有人都是理性的』。任何人，包括經濟學家，都知道這個假設是錯的－世界上根本沒有如此理性的人！情況就如所有科學家都知道世界上沒有理想氣體（ideal gas）一樣。

問題不在於這個假設是否錯誤，而在於錯在那裡！

甚麼是理性的人？就是「能夠利用邏輯分析所得資料，作出本身利益極大化的決定」。

甲女士無視自己經濟情況，買下了$6000的LV袋；乙先生放棄高薪厚祿，投身幫助弱勢社群的福利事業。他們沒有把自己的利益極大化嗎？非也，只是在甲女士及乙先生心中，有比金錢價值更高的東西。如果甲女士可以用$5000買到同款手袋，她還會買$6000那個嗎？利益極大化，並不是錯誤所在。

錯誤的地方，在於我們多數時間，都不是用邏輯作分析。

整天用腦子思考，是非常傷神的。假如一個理性的人，只要分析一下，就發覺如果整天用邏輯作分析，絕對不是利益極大化！一個理性的人，必然會決定自己不要那麼理性！

我們主要的思考方法，其實是從過往的經驗作出的猜測，並不是邏輯思維。邏輯思維是要學習的，但沒有多少人真正受過邏輯思維訓練；就算受過訓練的，也可能給過往經驗誤導。

不過，即使假設錯誤，也不代表亞當‧史密夫的經濟學有錯。如果，高估問題及低估問題的錯誤可以互相抵消，那麼平均來說，仍然可以假設大家都是理性。

然而，有心理學家發現，在某些情形下，人類會傾向犯同一樣的錯誤。怎樣把這個發現應用在經濟學，是一個研究課題。

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和一般人的想法相反，經濟學家認為，如果所有人都是理性，市場根本沒有投機的可能。投機的出現，正正是因為大家都知道人並不是理性的！

邏輯大哂咩?

女警：我知道案件不是表面那麼簡單！

教授：你怎麼知道？

女警：憑警察的直覺。

教授助手：哼，直覺？完全不合邏輯！

教授：也不盡然。多少個偉大理論，起始時只是一些沒有依據的直覺。

－神探伽理略

有人刊文討論電視劇一些常見但不及邏輯的對白，即時有人反應：邏輯大哂咩！

唔，邏輯幾時大哂？幾時不值一哂？

宗教論述是最多違反邏輯的，但傳教的人似乎都喜歡用邏輯來「證明」自已所信宗教的合理性。佛教是最老實的，邏輯只是幻覺而己：一件事，可以不是對，不是錯，也不是不對也不錯。你不明白嗎？你的悟性不夠！

基督教最不老實。天主能否做出祂舉不起的石頭？答不出，一句『邏輯大哂咩！』就解決了，偏要作出「合理」的辯解！

小說，劇集，擺明是假。俗語有云：聽估唔好駁估。如果完全不合邏輯，荒唐走板，我們似乎不大接受。但有時不合邏輯的情節，的確會增加故事的可觀性。不合邏輯還有一個好處，就是讓我們覺得自己能找出謬誤，比作者還捧！

對於自然現象，社會的共識似乎真的是邏輯大哂。一旦出現與邏輯不乎的事，科學家認為要麼資料有誤，要麼原本的理論要改正。事實上，現代科學發展，就是要為各種看來不合邏輯的現象找出合理的解釋。

但社會科學呢？「象牙塔」希望找出合邏輯的理論，前線工作的卻相信直覺。沒奈何，社會科學是統計性的，即使理論如何完美，亦必然有無窮無盡的例外！經濟學與金融學，已經被認為是最接近自然科學，但事實是，我的邏輯大哂，反對者都不合情埋，老子的看法準沒錯，失敗了是市場失效。看看那些金融分析員的評論罷！

投資大謊言

《The Big Investment Lie》在2006年出版，作者Michael Edesess是純數學博士，從事基金工作多年。他的公司從基金客戶收取可觀的管理費，但卻幫助客戶賺取不高的回報！當然啦，若公司投資表現偶以優於大市，定必大吹大擂；若表現不理想，是因為一般投資者不理性，以致市場失效。

作者的公司，並非個別現象。他從數據發現，大多數星級基金經理，只是在偶然的好運道下，短時期回報大幅領先市場。只要以後不大槽榚，客戶仍然被以前的好業績吸引，源源不絕獻上管理費！

唯一例外，是股神畢菲特的巴郡。畢菲特投資一些優質的『落後股』，雖然風險較高，但以其財力及不計較短期得失的耐性，賺取長期平均較高回報。這個人人都懂，但畢菲特與巴郡客戶同一呼吸，賺的是自己投資，而不是掠取高昴的管理費。

假如有永遠高於市場回報的投資策略，其他投資者會如鯊魚嗅到血腥，結果整個市場都用個投資策略－－結論是，如果一隻股票在市場佔有多少比例，在這個投資策略就應有多少比例。這就是1990年諾貝爾經濟學奬三位得奬者Harry M. Markowitz, Merton H. Miller, William F. Sharpe的結論。

隨後，就出現了『火箭專家』以及大量的『先進模擬系統』，目的是用極有限的資源，計算出市場佔有率的分佈。但真的有可以戰勝市場的電腦程式嗎？有名的LTCM，擁有最多的博士員工，結果失敗收場。

投資市場是一個「碎形」，小尺度與大尺度有統計的相似性，結果是市場變幅乃是一個布朗運動，這一刻不能預測下一刻的發展。作者說，那些金融專家，無視這個經濟學原理，要設計出有預測能力的數學模型，就如工程師強要制造永動機一樣荒謬。

作者又說，很多公司明白這個問題，但又不可以放棄送上金蛋的客戶，唯有用上各種投資大謊言！

筆者發覺，原來有更離譜的謊言。２００８年１１月４日，曹仁超在信報專欄《投資者日記》上說：『AIG出事，證明風險models雖然喺大學模擬電腦上可行，但喺真實世界卻失敗。』根本沒有這樣的模型，投資者諉過於人，無甚於此！

作者憶述，初入行時對投資全無認識，但他的數學思維，令他短時間內成為研究部門主任。他有機會和Myron Scholes　（Black-Scholes模型的發明者，１９９７年諾貝爾經濟學奬得奬者）合作。但他發覺，學術研究只是花瓶，整個行業對清楚嚴謹的理論根本視若無睹！

四個農夫

在一個小農村裡，
有四個可以化腐朽為神奇的農民。
日出而作，日入而息，
雖然辛苦，倒也消遙。

一天，有一個商人找到他們，說：
以諸位之能幹，我可以幫你們成立跨國農業公司，賺取可觀金錢，
到退休時，各位可以消遙自在，享受人生。

農夫甲、乙，不以為然，道：
現在的我，經已在享受人生，何需做金錢的奴隸？

農夫丙、丁，卻決定跟隨商人，往外面一闖。

往後的日子，甲乙照舊消遙，丙丁事業漸上軌道。

忽地，世紀天災，
甲失去工作能力，生活頓成問題；
乙一向只可自給自足，幫不了甲；
丙也不能再工作，惟所有財富，尚能安享餘生；
丁繼續他的事業，同時決定幫助甲，渡過難關。

這個故事，被說了很多遍，但主角變成一個，就是乙：
一生消遙自在，沒有成為金錢的奴隸。
那個商人，變了被嘲弄的凡人。

事實上，大家都想做乙，但怕成為甲；於是試做丁，最差變了丙；
結果，就是現在的社會！

LaTex Gone! NOOOOOOO......

LaTex for Blogger is NOT working now. Damn it, too bad!!!

由大爆炸到二００八

一百四十億年前，
大爆炸，
無數基本粒子誔生，
然後幾乎全部湮滅，
物理學家還在討論發生甚麼事；

五億年前，
寒武紀大爆發，
無數三葉蟲誔生，
然後幾乎全部絕種，
生物學家還在討論發生甚麼事；

一千七百年前，
魏晋南北朝，
無數王國誔生，
然後幾乎全部消亡，
歷史學家還在討論發生甚麼事；

三年前，
金融泡沬，
無數衍生工具誔生，
然後幾乎全部爆煲，
我們不知道發生甚麼事．．．

何以生而不平等

他們流着相同的血,
擁有一般的皮面,
甚至是孿生兄弟姊妹,
為何如此不同?

有的義無反顧,可以說愚勇;
有的老成持重,可以說懦弱;

嘗見一文,得一答案:
憑着小我的相異,
造就大我的存在。

不同的世情,
不同的個體會留下,
繼續傳宗接代,
保住家族的血脈。

然生下來是勇是弱,
是美是醜,
是隨機的嗎?
還是前世作業?

我沒有問他們,
大腸桿菌自己也不會知道!

(讀Expressing Our Individuality, the Way E. Coli Do有感)

任意做愛，率性殺戳

一個天使的國度
一群素食主義者
肚餓就吃，
眼睏便睡，
需要便造，
男與男，女與女，男與女
不受道德規範，
一切任意而為
看來，是嬉皮士的天堂

但，
骨子裡也有粗暴
興之所至，
也會殘殺異類
也會吞噬外族

原來，
他們與我們相像，
不只在面相外，血液中，
也在心智裡，行為上！

畢竟，
世界並沒有天使，
而只有侏儒黑猩猩！

（讀Sex-Crazed Apes Feast on Killing, Too有感）

經濟學的"實驗"

牛頓的萬有引力理論，打破了月上、月下世界的迷思。當代的物理學家，相信一切物理現象，可以由一個統一的萬有理論解釋。當然不同的情況，表達的形式會不同，就如火箭引撆與紙摺飛機都遵守相同的物理定律。

逹爾文的演化理論，打破了人類在生物界的特殊性。生物行為學家，漸漸相信可以解釋一般生物行為的理論，必可以解釋人類行為；而解釋人類行為的理論，亦應該只是一般生物學理論的特例。

經濟學，作為人類行為的一種，亦必然是生物行為學的一部份。如果我們可以在其他生物身上發現或制造類似市場貿易的行為，就有機會進行控制實驗。這樣子，就可以為一些很容易受情感影嚮的經濟學討論，如最低工資，給出一個較客觀的『證據』！

當然，前提是否定人類的中心地位，這個連爭取動物權益的人也不容易做到！

花, 鳥, 蝶

演化, 利益, 果報, 力場, 大道

生物學的中心思想: 個體追求自身存在的極大化。 甚麼是個體? 是獨立的生命, 是物種, 抑或是Richard Dawkin所提倡的『自私的基因』? 近來的發展, 生物學家認為個體是多層面的, 是物種, 是基因, 是羣體, 以至是文化, 社團, 語言, 制度等。 不同個體的互動, 成為無形的演化推力, 衍生多姿多采的生物世界。

生存與繁殖往往是最強的演化推力, 對人來說亦不例外。 但當我們述說人類的演化時, 會用一個較人性化的字眼--「利益」。

經濟學的中心思想: 每個人都追求自身利益的極大化。 聽到Adam Smith提出每個人都是自私的, 社會運動家常嗤之以鼻, 事實上他們當中確有很多人視錢財如糞土。但利益也可以指理念或思想, 所以其實這些人也是自私的, 希望推廣自己的主張--「自私」在此成了一個中立的詞匯。 不個利益的互動, 成為所謂的無形之手, 衍生多姿多采的人類社會。

話說回來, 財富是最易量度的利益, 所以人類社會以財富為中心也是必然的。 還有否其他可以量化的利益? Google的PageRank可以說把名氣量化。 在很多的網絡工程, 為了豉勵參與, 會把一個人的貢獻量化, 而他們喜歡用一個詞彙--「果報」(karma)。 karma這個詞, 慢慢褪變成無形奬賞的意思。

宗教的中心思想: 每個信徒都追求自身果報的極大化。 升天堂或往生極樂, 是泰半宗教信徒的理想。 但在很多宗教故事裡, 福祿壽或兒孫满堂更多時候是果報的象徵! 這樣看來, 「果報」只是「利益」的另一個代名詞。

生物學的演化用於所有生命, 而佛家的果報談及有情眾生。 但對於界乎生命與非生命, 有情與非有情是間的, 不如何處置, 界綫劃在那裡? 例如病毒, 例如人工智能? 而類似生老病死或吞併分裂的生物行為, 亦會在非生命如星系中出現, 而促成這種現象的, 喚作「力場」。

物理學的中心思想: 每個系統都傾向自身穩定性的極大化。大質量系統, 主要由地心吸力支配, 相關理論, 是相對論。 小體積系統, 主要由相互作用力支配, 相關理論, 是量子力學。 而然兩種學說卻有互相矛盾之處。 科學家正努力研究把兩者合而為一, 得出一個TOE(萬有理論, Theory Of Everything)。

完美的TOE, 可以解釋所有物理規律。人類的一舉一動, 當然受制於TOE, 但我們的思想呢? TOE對於界乎於理性與非理性的行為, 有何影嚮, 界綫劃在那裡? 有沒有一套科學理論, 可以同時解決生命與物理的規律?

如果有的話, 我們可以給這個理論一個有詩意的名字:「道」。