（三年前，一位出色數學家為abc猜想提出了難以明白的解。近期的一個會議，為這個謎樣的解，帶來不大清晰的曙光。）
本月初，數學界的注意力轉向牛津大學，為一個困惑了大家三年的謎，尋找曙光。
京都大學天才數學家Shinichi Mochizuki在2012年8月發表了四篇解以理解卻不可勿略的論文（see here)，創始了一套理論並命名為 “inter-universal Teichmüller theory” (IUT theory) ，當中包含數論中著名abc猜想的解。
不過，很快數學界就發現，這套Mochizuki獨力用了二十年來發展的理論，幾乎無人可以理解。公認的天才數學家，以解難及注意細節聞名，沒有人可以忽視他的論文。而然，共超過500頁的論文，太多新的慨念及定義，根本難以閱讀。再加上，這位日本數學家拒絕外訪，以致曾經拜讀該論文的數學家無法解開疑問而放棄。
過了三年，這套理論幾乎被廢棄了。終於，在今年12月7日，世界有名的數學家在牛津大學Clay Mathematics Institue舉行會議，目的是嘗試了解這套理論. 牛津大學數學家Minhyong Kim是會議三個主辦人之一，認為這會議其實已經遲了。
Kim說：「大家，包括我與Mochizuki，開始不耐煩。應該有人做些事情，這是對數學界，對朋友，對自己，及對Mochizuki，負上一點責任。」
會議包括三天基礎講座，及兩天 IUT theory深入討論，包括關於第四篇論文的講解。第四篇論文內有abc猜想的解。無人認為只用一星期的會議就能明白這套理論，大家都只是希望能得到個大概，認清這套理論是否正確，是否有用，是否值得繼續研究。
三天基礎講座，似乎令人感覺有希望。
解題新方向
abc猜想的解介：除了有限個例外，若然正整數 a + b = c，則 c 的大小會被 a與 b的質因數所規限。
質數作為整數乘法之本，與整數加法，從來沒有明顯的關係。所以任何把兩者連在一起的命題，都是非常重要。
1985年提出的abc猜想，在Mochizuki的四篇論文之前，進展不大。但數家界早知些猜想與其他著名數學問題有好大關連。例如在 1986年德國Max Planck Institute for Mathematics的 Gerd Faltings 憑着證明Mordell猜想取得費爾茲獎, 以後美國哈佛大學的 Noam Elkies 發現abc猜想可以改良Faltings的定理。
abc猜想亦等價於由法國數學家Lucien Szpiro在1980代提出的Szpiro猜想。abc猜想是關於整數的，而Szpiro猜想則是關於橢圓曲線。將整數與橢圓曲線拉上關係，是一個常用策略。一方面它使得數論問題變得抽象及難於表達，但另一方面它引入更多解題技巧。在1994年Andrew Wiles利用這策略解決了費馬大定理（若 n>2，則 an +bn = cn 沒有整數解），事實上他更進一步把橢圓曲線連繫上 “Galois representation” ，並利用Galois representation找到問題的解。
Mochizuki把相同的策略用於abc猜想，他把Szpiro猜想連繫上他的新發明：Frobenioid。本來，他花了很多時間去發展一套“Hodge-Arakelov 橢圓曲線理論”，卻發現並不足夠，但在過程中，他得到了Frobenioid，一種新的幾何物件的代數特徵。
簡單幾何物件的對稱，連繫着 “群”；利用抽象的群，可以研究更上一層的對稱。橢圓曲線的對稱，便連繫着Frobenioid；利用Frobenioid的等性，可以研究整數深層的對稱性。
Kim說：「Mochizuki認為，解題的關鍵，在於由一個更基本的角度，去審視整數的特性。」
在第三天結尾及第四天開首，聖地牙哥加州大學的Kiran Kedlaya，解釋Mochizuki希望如何用Frobenioid去對代abc猜想。他在演講澄清了Mochizuki方法的中心思想，是這個會議最大的進展。Faltings，即Mochizuki的博士導師，在電郵中稱讚Kedlaya的演講在啟發性。
史丹褔大學的 Brian Conrad亦認同Kedlaya的演講是會議的高潮。聽過Kedlaya啟發性的演講，他期望接着的演講會更有趣味。
可惜事有願違。
‘好的混亂’
明白Mochizuki如何把abc猜想聯繫上Frobenioid是令人振奮的發展。但明白Mochizuki如何利用Frobenioid去解決問題卻是另一回事。
Purdue University的Chung Pang Mok和京都大學的Yuichiro Hoshi 及 Go Yamashita，負責在最後兩天解釋Mochizuki該四篇關於IUT理論的論文。 可以說，沒有人真的明白他們的解說。
迷失的原因有多方面。首先是在最後兩天的技術難度大幅提昇，這也可算在預期之內。其次是兩位日本講者慣了單向講解，不同與西方講者與聽眾互動的習慣。
雖然會議並未能帶出多少實質的發展，但的確燃起一些與會者的興趣。Kedlaya打算在明年七月在京都大學舉辦多一次會議。
有些人認為Mochizuki應該主動解釋他的工作。Faltings在電郵中提到： 「除非Mochizuki願意寫出一篇讓人明白的論文去解釋，否則問題無法解決。」
Kim卻認為未必需要，因為 “好的混亂”可以刺激人思考學習。Kim說：「在會議前，無人明白IUT文章，現在起碼有了一個概念。雖然仍然有問題，但卻是更有深度的問題。」
No comments:
Post a Comment