龐加箂之戰：The New Yorker

在前篇《龐加箂之戰》文中，我預告有人已為此撰文。估不到這麼快便出手了， SYLVIA NASAR （The Beautiful Mind 的作者）及 DAVID GRUBER 的

Manifold Destiny

正是為此數學界的大事作了較深入的報導。可惜的是，這個故事的歹角以乎是香港人，唉！

對我前篇不欣賞的人，希望這篇高水平的文章可以滿足他們的要求。戰鬥還未完結，還有一些枝節亦未在文章討論，所以 to be continued...

甚麼是normal？

A：如果獨身的人要收養孩子．．．
B：沒有國家容許獨身的人收養孩子！
C：因為要保證孩子有個normal family。
A：我可是個normal family專家啊。

要明白這個笑語（或者不太好笑），就要明白normal family的意思。第一個是指『正常的家庭』，後一個是數學上的『正規族』。

normal 這字，用途太廣範。

最原始的解釋，是指『理當如此』，如：A normal mother should love her children （正常的媽媽要受惜自己的兒女）；或是指『多數如此』，如：A normal person could not run that fast（一般人不可能跑得這麼快』

然後，在社會學上，變成『與不平均數相距不遠』。這是把『多數如此』給出一個較準確的科學定義。不過，常用平均數有三，分別是眾數mode，均值mean，及中位數medium。若三者相若，則問題不大；但若三者相差頗大，用不同的平均數可能會做成爭議，猶其是用以制定政策時。

有一種統計學上的分佈方式，眾數、均值、中位數皆同，且越遠離平均數，越是罕有。這特殊的分佈稱為正態分佈normal distribution。若一個社會，它的財富是正態分佈，則窮人及富人都較罕有，反而是中產的較多，它的財富分佈會較為平均。所以，normal distribution的normal，是有點『理當如此』的意味。現實中，很少有真正的normal distribution，頂多是接近。所以，normal distribution並不是『多數如此』的distribution。

normal distribution是有很多優美的數學特性的distribution。很多不同的數學物件，都會有一些被稱為normal（中文稱為正規）的，是命名的數學家認為它的特性優美。除前述的normal family外，還有normal subgroup，normal matrix，諸如此類。這些normal的東西，一般非但不是『多數如此』，甚至乎相對罕有。

可以見到，笑話中的兩個normal，某方面的意義是完全相反！

龐加箂之戰：粗疏的簡介

小道消息，有一些人已經磨拳擦掌，準備為世上少見的學術界比拼寫成小說。

真的，關於龐加箂猜想的歷史，簡直就是一部武俠小說。

龐加箂猜想，由Henri Poincaré於1904年提出。它的證明，就像一部人人這得到的武林秘笈。

然後，不斷有人嘗試證明。世人一步步接近這部秘笈。

Richard Hamilton提出一個大方向，公認是尋找秘笈的正確路向。

2000年，Clay Mathematics Institute宣佈，得到秘笈者將獲百萬美元奬金。

突然，一個隱士Grigori Perelman平空而出，宣稱已證明了龐加箂猜想。而然，因為他淡薄名利，恃世獨行，決不正式向武林公告，留下了不少問號。他現在已不知所踪（消息終於在今天明報刊登）。

既然留有問號，很多人仍然為這秘笈努力。三路人馬，皆要稱王。三路人馬分別是：曹懷東和朱熹平由丘成桐支持之下，宣佈正式解決了龐加箂猜想；耶魯大學的Bruce Kleiner與密歇根大學的 John Lott (University of Michigan)；還有，南京大學的田剛與哥倫大學的 John Morgan。

田剛與丘成桐的師徒反目，田剛丘成桐事件為這場戰伇增添不少色彩。

還有不小有趣事件，恕未能在此披露。

The Joy Of Pi

圓周率，乃，周徑之比，即，圓周除直徑，無盡而不循還之數也。
此數，非兩整數的比，是為無理數。

圓周率，更為超越數，即任一整數多項式，圓周率不會是其零點。
古希臘改圓為方，因此被證明為不可能。

有比賽，看誰，可記得，最多的圓周率數位。
有得勝者，曾經著書立說，解釋：如何強化記憶？

講到用途，圓周率，多樣化：
圓柱球體與橢圓形、機會率、數率、波動函數都要它。

其計算和歷史都有趣，看《神奇的 π 》。

權力的量化

Ａ：曾蔭權的權力有多大？

Ｂ：不大，他在立法局沒票。不小，他有保皇黨支持。

Ａ：給我一個科學化的答案罷！

Ｂ：你是要一個數字？你是要一個可以代表權力大小的數字？

Ａ：是啊。要投資也要知道風險系數嘛！

Ｂ：那就用權力指數罷。這是把權力量化的工具。

Ａ：那挺不錯。

Ｂ：最常用的是Shapley-Shubik指數，美國總統擁有國會１６％權力。

Ａ：那美國國會是頗平衡的啊！

Ｂ：次常用的是Banzhaf指數，美國總統擁有國會４％權力。

Ａ：這樣不成了破腳鴨總統嗎？

Ｂ：也有Johnson指數，美國總統擁有國會７７％權力。

Ａ：原來美國也是個獨裁政體！

Ｂ：最後是Deegan-Packel指數，美國總統擁有國會0.4％權力。

Ａ：即是幾乎全無影嚮力？！

Ｂ：這純粹從制度計算，還未考慮政黨背景。

Ａ：四種指數，差異真大！

Ｂ：若總統權力絕對大於議員，所有總統權力指數都大於議員。

Ａ：所以計算的結果是，制度上，美國總統權力未必大於議員！

Ｂ：政治現實是，美國總統很少孤軍作戰，他的權力指數隨國會成份而變。

Ａ：四種指數，孰優孰劣？

Ｂ：各有優勝處，各有吊詭處。

Ａ：曾蔭權的權力有多大？

Ｂ：未計！

立法會投票制度的維數

在香港，念數學而參與政治的名人，如今只有曾鈺成。但不知曾某對政治數學有多大研究？

政治數學，可以歸納為博奕論的一個分支，但絕非只是很多香港人自以為明白的納殊博奕。這裡我想一說，比較少人提及，立法會投票制度的數學模型。

為着簡化討論，我們不容許棄權票，即所有棄權票作反對票處理。

最簡單的立法會，是一人一票的簡單大多數。稍為複雜的，是『加權投票系統』(weighted voting system)：即是在議會內，各位議員擁有可能不相同的票數，而議案通過的條件是要有超過預設數量的支持票。

舉例，有四人議會，一人有兩票，一人有三票，另兩人各有一票，議案雖四票支持才能通過。這就是『加權投票系統』，記作 [2,3,1,1;4]。

在幾乎大多數國家，都是用單一議會的加權投票系統。

數學上，我們稱這個為一維投票系統。即有一維，自然有二維。一個二維投票系統，是指議案要經過兩次不同的加權投票系統通過。

美國國會當然是二維，因為法案要分別通過參議院及眾議院。英國國會是雙議會制，但基本上議案只需在下議會通過，所以仍算是一維。

加拿大修改憲法，要多個一半省份支持，而支持省份要代表超過一半國民，才可通過。這是個二維系統。

一個n維投票系統，是指議案要經過n次不同的加權投票系統通過。

香 港立法會，政府議案通過只要多過一半議員支持，似乎是個一維；私人動議卻要功能議席及直選議席各有超過一半支持，似乎是個二維。加起來，香港立法會是個三 維投票系統！避開數學細節，計算時我們需要引入一位只會支持政府議案的隱形議員，他代表着香港政府在立法會內的直接影嚮力。

這些投票模型，可以幫助計算不同人或政黨的權力，亦可以幫助電腦模擬分析。

順帶提出，表面不相干的兩個學科，政治與數學，也可以有一定程度的連系。未來中學通識課程，為何可以被任意割裂？這真是通識嗎？

進介參考書：Alan D. Taylor, 《Mathematics and Politics》

吸血蟲的強暴世界

我一向相信，所有人的行為都可在其他生物找到。一些人類的邪惡行為，可能是某些生物的正常生活。

吸血蟲begbug的世界內，所有的性行為都可稱為強姦。雄蟲在交配時，針狀的生殖器直接插穿雌蟲表面進入體內。因而雌蟲表面可以見到一個個孔洞。

其他的昆蟲，雄性要先得雌性歡心，然後用生殖器對生殖器，把精子送入。吸血蟲的雄蟲一於拳頭至上，覇王硬上弓，連對方生殖器入口也不找了，索性隨意插入！

生物學家說，這是吸血蟲的進化策略，減少求偶所需的虛耗。噢！

吸血蟲的世界內，還有雄性姦雄性！當強者面對弱者，會毫不留情的施暴！這行為的原因，生物學家還在搔不着頭腦。

有一種說法，是施暴者在受害者體內留下精子，在受害者與異性接觸時，會把施暴者的精子一拼射出。若如是，則受害者還要幫助施暴者傳宗接代！可能是自然間最邪惡的雄性姦雄性了。

不過生物學家說這猜測還找不到證據。

七種『母親』

近來有幾位朋友剛為人母，或將為人母。剛好近期又讀到一些花邊新聞，便寫寫不同種類的 『母親』：生母，代母，飬母，後母，契母，教母，師母。

通常只有前四種可被稱為母親，但後三者確分擔一部分母親的職責，故一拼論之。

若徒兒的師父為男性，徒兒師父的妻子便稱為徒兒的師母。恕我如此累贅，因我想順勢提出，若徒兒的師父為女性，徒兒師父的丈夫卻沒有特別稱呼！

師母與徒兒的關係，要視乎她對丈夫事業的介入度有關。這關係會非常疏離，但在一些傳統的行業，可能師母也負着一些教飬的責任。

教母，好像是天主教獨有：每位教徒都有一位教母，為孩子給與一些宗教上或生活上的幫助。契母，是中國民間的傳統：當二人建立了契約的關係，契母便有責任給契子女給與一些道德上或生活上的指引。教母與契母，在傳統的天主教家庭，幾乎沒有分別。

當然，每個天主教徒都有一位亦只有一位教母，但一個中國人可以沒有或有多於一位契母。

後母，是指父親再娶的妻子。這個不用多說。

真正飬育孩子的女人，就是飬母。對飬母不是生母的人，可能有「生娘不及飬娘大」之嘆。

有一種界乎生母與飬母之間的，就是古時大戶人家的乳娘。這種要放棄用自己的奶餵餔自己孩子的古老職業，聽說最近在中國大陸再次出現。可能是因為現代醫學界重新提倡母乳比奶粉好。

生母是誰？如果你的答案是『生你下來的女人』，已跟不上時代。陸恭蕙的孩子，並非她生下來的，而是請人代生的。用自己的卵子與丈夫的精子結合，放在另一個女人的子宫內，誔下自己的孩子。陸恭蕙才是那孩子的生母，供給子宫的女人便是孩子的代母。

十月懷胎的女人，竟然只是代母，而不是孩子的生母，這是對社會倫理的一大衝激。

那麼生母是否『卵子的供給者』？又不是這麼簡單。也有的不育妻子，讓他人的卵子與丈夫的精子結合，放入自己的子宫內。這在法律上，自己仍是孩子的生母，而卵子的供給者仍只是卵子的供給者！

科學家曾把兩個老鼠的卵子結合成胚胎。如果人的卵子也可依樣胡蘆，那可知問題更大。

還記得阿諾舒華申力加的《龍兄鼠弟》嗎？主角是不同人基因的混合體，所以他有多個生父生母。但他還只有一個把他生下來的女人，而這女人便是後來與他團聚的母親。就現代法律來看，這是他的生母嗎？

自由選舉及自由貿易

有人說：人有選擇管治者的自由
（有人說：人有選擇經濟活動的自由）

現實是：民主菲律賓經常政變，民主印度多數人生活艱苦
（現實是：自由貿易令美國工人失業，自由貿易令南韓農民生活艱苦）

歷史上：民主美國出現南北戰爭，民主菲律賓選出獨裁馬可斯
（歷史上：1860-1892歐洲對外貿易最少干預卻出現了著名的經濟大衰退，在 20世紀 60至 80年代美國大幅減少關稅的干預但平均經濟增長卻低）

所以，人權分子說民主有益於國民並不一定成立
（所以，經濟學家說自由貿易有利於國民並不一定成立）

我們不應盲目相信民主
（我們不應盲目相信自由貿易）

結論是：國情不同，民主不適合我們
（結論是：國情不同，自由貿易不適合我們）

結論是：在國民不成熟時，不應倉卒推行民主，我們要遁序漸進，最終會達至民主的
（結論是：在國民未準備好時，不應倉卒開放市場，我們要遁序漸進，最終會達至自由貿易）

風俗的演化

隨着支持種族主義的達爾文社會論（Social Darwinism）被掃入垃圾堆，演化論在社會學的真正用處開始浮現。演化論逐漸成為不同人文學科的共同語言。

演化論說：『畸胎』年年有，但往往不能存活。不過可能因緣際會，例如環境突變，生存下來並留有後代，一個新物種因而誔生。令一方面，原來的物種有可能適應不了變化，終至消亡。

同理：『古靈精怪想法』人人有，但往往不能付諸實行。不過可能因緣際會，想法得到落實，甚至變成代代相傳的習慣，一個新風俗因而誔生。令一方面，原來的風俗有可能適應不了變化，終至消亡。

畸胎的出現，可能是自然突變，可能是幅射化學干涉，也可能是被其他生物（人或細箘）的影嚮。

一種想法的出現，可能純是胡思亂想，可能是希望消災解刼，也可能是被其他外力所影嚮。

一個出名卻不知出處的『五實驗』故事，見〔１〕〔２〕，簡述如下：

有五隻子困在籠內，某角落有隻香蕉。誰有膽走近香蕉，所有子都被水淋。久而久之，沒子敢接近香蕉。

接着，換入一隻新子，當它欲接近香蕉時，被其他不想被水淋的子群起而攻之。它不明所以，只知接近香蕉者該打！

最後，所有舊子被掉走了，但新子認為接近香蕉者該打。香蕉已成禁忌。

其實，科學家早決定不再淋水，剩下來的只是無聊的禁忌。

一天這禁忌不影嚮子的生計，一天它們也不會去挑戰這禁忌。除非一日有重大改變，例如有隻不怕打的子敢去取香蕉，一日這禁忌仍然存在！

譬如避諱，是避免名字相同引起混亂。及後變成下級改名遷就上級，進而達至「只許州官放火，不許百姓點燈」的荒謬。最後是封建制度崩潰，連避諱也一拼消失。

又如扎腳，最初是某皇帝對小腳的畸型愛好。上行下效之後，演變成貴婦的象徵。滿清曾明令禁止，但對貴婦形象的偏好，使禁令形同虛設。及至列強入侵，騎在中國人頭上的外國貴婦不需扎腳，扎腳的形象直插谷底。

泰北某小數民族，女子以長頸為美。估計起因也和扎腳差不多，對身體也做成損害。為甚麼這習俗沒有消失？族內的人美其名曰保留傳統，事實是把女人作為新一代搖錢樹，吸引遊客。喜歡獵奇的遊客，是否也有責任？！

美國的黑奴制度，起點是把非洲人作廉價勞工。但隨着黑人落地生根，世代繁衍，黑人白人都出現兩極情況。某些白人發覺把黑人看作僱員，比把他們看作奴隸（要 提供食宿）化算，某些白人仍然相信奴隸制是個理想制度；某些黑人渴望獲得自由，某些黑人卻害怕生活改變。結果是南北戰爭。

現在的減肥狂潮，起因是肥胖有損建康，醫學界提倡；繼而做生意的看見商機，把這個主導權搶過來；最後是女人自我設限，比男人所設的標準更為苛刻。這也是個不合理的風俗，也不知會如何結束。

食肉的素食者？

閣下為何選擇吃素？若是宗教原因，以下的文章可能與你有關：

Test Tube Meat Nears Dinner Table

利用實驗室人工培殖肉塊，吃它還算不算吃素？

記得多年前肯德基不再「家鄉雞」時，有傳言「肯德基不是雞」。當時我與一位信佛朋友討論，他笑說這樣他便有雞吃了。

其實在很多科幻電影中，人工合成肉類早不是新鮮事兒。不過今天的新聞，是把小說變成事實再跨出一步。

對香港人來說，人工培殖軟骨可能更具吸引力。醫學上，人工軟骨有極大用途，但我不是說這個。對嗜翅成性的港人，人工培殖魚翅是個好東西，畢竟市面假翅充斥，且捕鯊有道德問題。

我知有很多機構在研究人工軟骨，為何沒有人工魚翅呢？

一則科幻小說：誰是母親？

某年某月某日，某間空置已久的工廠突然傳出巨響。人們驚訝發現，內裡有一個不知從何而來，卻已燒壞的機器，旁邊是一個剛滿月的女嬰。

女嬰被收養，長大後成為出色的科學家，參與了兩項極具爭議的研究。首先，她把自己的細胞變成胚胎，放在自己的子宮內繁殖，誕下複製了的自己；其次，她決定要製造時間機器，地點是她當年被發現的地方，當時仍被空置的工廠。

這天，她帶着自己的複製品，來到工廠。她把女嬰放在時間機器一旁，然後測試電腦的數據。不知怎地，時間機器突然發動，產生的波動把周遭的都吸去。科學家僥倖避過了，但女嬰及時間機器卻失去了！

科學家終於知道誰是自己的母親，但卻仍然不知道自己從何而來！

***********

Robert A. Heinlein的"--All Your Zombies--" 太過複雜了。以上是個沒有男女關係的簡化版。

能源與環保：永難共享？

紐約時報刊登了以下的文章：

Pollution From Chinese Coal Casts a Global Shadow

談的是燃煤發電在中國引起的經濟環保問題。

煤，是『廉價』能源。不甘花錢去買最新的燃煤發電設備，中國的煤發電效率最低，汚染最高－－又一個短視的例子。但中國的汚染，已達至不容忽視的水平，迫得中國政府開始研究不同的能源。

石油，供應會受國際形勢影嚮，來源不隱，除非煤液化技術成功。但石油跟煤一樣，產生室溫氣體，令全球暖化。

核裂變，人為錯誤造成的核工廠意外，最令人害怕。即使是最新的技術，已是相當安全，但所產生的幅射廢料，長遠亦是隱患。

核聚變，有中國參與的首個大型電廠，將於法國興建。最大的批評是，投資具大卻未必有成果，不若把金錢投放在其他再生能源。

水力發電，需要人為改變生態環境，為害不用多說。

風力發電，亦被一些環保分子垢病，皆因誤撞風車而死的鳥兒，不計其數。

太陽能，被譽為最環保，可惜成本太貴且效率太低。而且，製造高質素太陽能發電板，亦可能需要對環境有害的物料。

好了，進入死胡同了！所有的方法都有環保理由去反對。怎麼辦？怎麼辦？

宣傳至上的龐加箂猜想證明

２００６年６月３日，丘成桐宣佈：龐加萊猜想（The Poincaré Conjecture）最終由兩位中國數學家朱熹平和曹懷東證明了！

咪住，怎麼這件數學界大事只在中文報章大肆報道，而其他報章卻輕輕帶過，甚或隻字不提？當年安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明費馬大定理(Fermat's Last Theorem)不是在全世界引起轟動嗎？

是種族歧視嗎？他們妒忌中國人的成就？

都不是，原因是數學界一般同意，龐加箂猜想可能早於２００２年由蘇聯人格裡戈里·佩雷爾曼（Григорий Яковлевич Перельман, Grigorii Yakovlevich Perelman）證明了，只是中間有的漏洞未完全堵塞。這猜想會於十年內正式解決，幾本已以乎已是共識！

龐加箂猜想是：『每一個沒有破洞的封閉三維物體，都等價於三維的球面。』由龐加萊（Henri Poincaré）於１９０４提出，突破口是Richard Hamilton在１９６６年的新數學方法，而佩雷爾曼在２００２年加以改進。若朱曹二人當真為此平頂，會在世界數學史佔一席位，但其頁獻仍遜於前人。

相反懷爾斯確實作出突破，且是在沒有人預計情況下，宣報證明了費馬大定理。

既然朱曹二人只是為龐加箂猜想平頂，為何丘成桐會高調宣報？又為何中文報章會大肆報道？

首先，中國記者是善忘的，忘記了２００２年報章曾廣泛報道佩雷爾曼可能證明了龐加箂猜想。

其次，中國人老想着要有中國人的成就，不求甚解的用上『中國人證明世紀數學難題』般的標題。

最後，丘成桐深明宣傳之道，懂得如何提高知名度。雖然香港各大學數學系研究及師資半斤八兩，但中文大學數學系的曝光率遙遙領先，與此不無關係。

忘記一提，若龐加箂猜想真的證明了，相關的克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）一百萬美元怎樣分派，倒令人迷惑。原因是該奬項規定得奬論文必要在數學期刊上發表，而佩雷爾曼是個自負且不好金錢的奇人，他的論文只是放在自已網頁上！但如果只是朱曹得奬，數學界應會群情淘湧！

婚姻的意義

有朋友說：以經濟學角度，一夫多妻是最好的。也有朋友說：一夫一妻是最文明的。不論如何，其實一夫多妻、一妻多夫、甚或同性婚姻，廣義上在香港是『合法』的。

此話怎說？香港法律規定：每人只可與一位異性註冊結婚；若多於一位，便犯重婚罪。但若有人選擇『不註冊婚姻』 ，倒不是犯法。最出名的有何鴻桑的多位太太。筆者也認識一對結婚多年，有兒有女的夫婦，最後是因要申請居屋才正式註冊！

這也是的，若由荷蘭來香港定居的同性配偶，或由中東搬來香港有四個太太的回教徒，倒不成說他們的婚姻不合法。當然囉，帶來的法律問題會是非常複雜。

要知道，香港是近四十年才切實執行一夫一妻制，之前只要是三書六禮，一個男人的所有妻子都受法律保障。基督教是一夫一妻制的，但舊約時也是一夫多妻的。中世紀時，有些君主需已接受基督教，但仍以延續王室血脈為由納妾。現在據稱還有一妻多夫的小數民族。可以說，一種婚姻受法律認可，其實是反映當時的社會需要。

論結婚對象的選擇，遠古時的男女雜交選擇最多，但這不利於社會穩定。

一夫多妻制，女的可以選擇己婚男性作對象，以此角度看，是比較一夫一妻制優勝。怪不得會成為古代大多數社會的主流。

然而，隨着男女地位變得平等，與人分享配偶亦變得不可接受，一夫一妻制遂在現代社會生根。

婚姻的定義，隨社會變遷而改變。但最簡單的是，一男一女互相照顧的契約。在傳統的社會內，男的工作飬家、女的持家有道、再加上生兒育女，是婚姻的社會責任；若做不到，會承受巨大的社會壓力。選擇配偶的條件，會是門當戶對、好生飬、或合適的經濟政治背景。在父母之命，盲婚啞嫁的從前，戀愛可能是結婚之後的事。私定終身，其罪大焉！

今天的婚姻，和一百年前的婚姻，意義與社會功能已大不同。在標榜個人自由的今天，戀愛逐漸變成婚姻最重要的部分。亦正因如此，同性戀者認為法律上婚姻定義也應蓋涵男男或女女，這才是公平。但『同性婚姻』的概念從未在中國出現過，它究意是否婚姻，是定義問題。若大家認為同性婚姻不是婚姻，就不存在法律是否承認的問題。

現實有一男愛多女，或一女愛多男，為何法律上不能認可一夫多妻或一妻多夫呢？畢竟這在中國社會出現過。但既然在香港，法律上一夫一妻制幾乎是共識，亦因而沒有動力去改變婚姻的法律定義。

由世界盃到演化論

相比起進化論，我較為喜歡用演化論。一般人喜愛把演化論歸納為『優勝劣敗』。

以狒狒為例，若某雄性狒狒成為王者，它可以獨攬所有的雌性狒狒。對這現象的解釋是，如此可確保最優秀的基因可延續下去。那末，勝出的是最優秀，敗陣的當然較劣等，不是嗎？

錯了！讓我先談談世界盃。在多國球隊中，只有一隊可以奪冠。香港、新加坡、汶箂等，是名副其實的弱旅，被淘汰是必然的；但巴西、阿根廷、英格蘭等頂級強隊，不能說巴西棒盃便代表巴西比阿根廷或英格蘭優秀！因為規矩是只有一隊冠軍，即使是同樣優良亦要分出勝負。正如一句老話：「波是圓的」，最後其實的運氣決定一切。

若世界盃的結果，是所有球隊學習冠軍的踢法，我們會見到一個沉悶的足球世界。同理，一夫多妻制的結果，是犧牲了基因多樣性，亦是個缺憾。

其實自然界中，除一夫多妻外，也有一妻多夫，一夫一妻及其他，每種都各有好壞。優勝劣敗根本是個過於簡單的描述。

或者，狒狒的一夫多妻其實衹是隨機的產物，誰知千萬年後，若不絕種的話，會否出現另外的社會模式？

親疏如何有別？

親疏有別？當然啦，愈親疏的關係，在搜集資訊及履行合同的成本，相對較低。但亦正因如此，取消不合效益的合同，亦相對較難。

有多少企業因親友幫助而起家，卻因用人唯親而衰落？找出平衡點，是不容易的。

中國人的『關係』，是把親疏有別的經濟效益極大化。奇怪的是，美國人也有這樣的事，卻要用『關係』的拼音guanxi來表達。

那麼，怎樣可把『親疏有別』量化？一般而言，兩人愈疏遠，則量化後的距離愈大。

最簡單的，是以互相認識為基礎。若甲與乙互相認識，他倆的距離為１；若甲與乙不相識，但兩人同時認識丙，則甲與乙的距離為２；若甲認識丙，丙認識丁，丁認識乙，則甲與乙的距離為３；如此類推。社會學家Stanley Milgram進行實驗，發覺最遠的距離不超過６。這是個很有趣的人際關係遊戲：隨便找兩個人，看看他們的距離為何？

當然，以上的距離是非常粗糙。同是朋友，點頭朋友或同窗密友自是大不相同。因此要定義新的距離，即以兩人生活圈子多少重疊作計算。若考慮的不是人與人之間的關係，而是網址與網址之間的關係，得到的是以超連結計算的排行傍，當中最有名的要算Google的PageRank。

數據挖掘（Data mining）就是嘗試把不同資料的潛在關係找出來。利用數據挖掘來對人作出分析，是現代社會學研究的一個方向。有報導指美國國防部有收集國民的通訊摸式是以分析，希望找出恐佈分子的溝通模式。成功與否，不曉得，只覺有點《一九八四》味道。

有時候，我們會希望找出兩人某方面的親疏關係。若把之前簡單距離的計算，由相互認識改為有共同文章發表，則可表示二人的學術距離：Erdős number就是數學研究員與多產數學家Paul Erdős的學術距離。

在現實中，互不認識的人可能比互相仇視的人更加親近。又或者親近的感覺並不是雙向的，就如暗戀。若考慮這些，便可能得出更複雜但更準確反映親疏的距離。

排隊日中環

２００６年３月１９日，文化遺產中區警署第一次開放，超長人龍龍尾過了鴨巴甸街，接近我家樓下：

情陷夜中環

早看，是兩支駭人的牙簽；晚看，是．．．？

丹布朗福音

一日丹布朗在家中沈思。突然，電腦顯示器閉出一道耀眼光芒，而擴音器傳出一把雄渾聲音：『丹布朗，丹布朗，聽我說話！』

丹布朗嚇了一跳，問：『誰在叫喚我？』

『我是抺大利瑪利亞的天主，主業會的天主，達文西的天主，騎士團的天主！』

『我的主啊！您要我幹甚麼？』

『我要你把所有的傳說，包括抺大利的瑪利亞與耶穌結婚生子，主業會的謠言，達文西是郇山隠修會成員，騎士團發現耶穌後裔，等等，寫成一部小說！』

『我的主啊！為甚麼？難道這些都是真的？』

『丹布朗，你先答我，你做得到嗎？』

『我的主啊！我可以加上尋寶、暗殺、陰謀、愛情，寫成一部小說。但情節是頗為老套的。』

『老套沒問題，你的小說將會成為震撼！』

『我的主啊！這樣我將受到教會攻擊，那我會得到甚麼？』

『你會如猶大一樣，受千萬基督徒咒罵！但你會名成利就，影嚮力遍佈全球！』

『我的主啊！我願意為您服務！』

『丹布朗，我的忠僕，你還有甚麼問題？』

『我的主啊！為甚麼要寫？難道這些都是真的？』

『真與假沒關係，我要看看信徒的信德，看他們是否因小說動搖，看他們是否因小說大驚小怪！』

『我的主啊！我明白了！我這就去寫。』

『丹布朗，我的忠僕，我祝福你。』

原來這就是《達文西密碼》的因由，阿彌陀佛！