解迷的解之迷，再現曙光....

Hope Rekindled for Perplexing Proof

（三年前，一位出色數學家為abc猜想提出了難以明白的解。近期的一個會議，為這個謎樣的解，帶來不大清晰的曙光。）

本月初，數學界的注意力轉向牛津大學，為一個困惑了大家三年的謎，尋找曙光。

京都大學天才數學家Shinichi Mochizuki在2012年8月發表了四篇解以理解卻不可勿略的論文（see here)，創始了一套理論並命名為 “inter-universal Teichmüller theory” (IUT theory) ，當中包含數論中著名abc猜想的解。

不過，很快數學界就發現，這套Mochizuki獨力用了二十年來發展的理論，幾乎無人可以理解。公認的天才數學家，以解難及注意細節聞名，沒有人可以忽視他的論文。而然，共超過500頁的論文，太多新的慨念及定義，根本難以閱讀。再加上，這位日本數學家拒絕外訪，以致曾經拜讀該論文的數學家無法解開疑問而放棄。

過了三年，這套理論幾乎被廢棄了。終於，在今年12月7日，世界有名的數學家在牛津大學Clay Mathematics Institue舉行會議，目的是嘗試了解這套理論. 牛津大學數學家Minhyong Kim是會議三個主辦人之一，認為這會議其實已經遲了。

Kim說：「大家，包括我與Mochizuki，開始不耐煩。應該有人做些事情，這是對數學界，對朋友，對自己，及對Mochizuki，負上一點責任。」

會議包括三天基礎講座，及兩天 IUT theory深入討論，包括關於第四篇論文的講解。第四篇論文內有abc猜想的解。無人認為只用一星期的會議就能明白這套理論，大家都只是希望能得到個大概，認清這套理論是否正確，是否有用，是否值得繼續研究。

三天基礎講座，似乎令人感覺有希望。

解題新方向

abc猜想的解介：除了有限個例外，若然正整數 a + b = c，則 c 的大小會被 a與 b的質因數所規限。

質數作為整數乘法之本，與整數加法，從來沒有明顯的關係。所以任何把兩者連在一起的命題，都是非常重要。

1985年提出的abc猜想，在Mochizuki的四篇論文之前，進展不大。但數家界早知些猜想與其他著名數學問題有好大關連。例如在 1986年德國Max Planck Institute for Mathematics的 Gerd Faltings 憑着證明Mordell猜想取得費爾茲獎, 以後美國哈佛大學的 Noam Elkies 發現abc猜想可以改良Faltings的定理。

abc猜想亦等價於由法國數學家Lucien Szpiro在1980代提出的Szpiro猜想。abc猜想是關於整數的，而Szpiro猜想則是關於橢圓曲線。將整數與橢圓曲線拉上關係，是一個常用策略。一方面它使得數論問題變得抽象及難於表達，但另一方面它引入更多解題技巧。在1994年Andrew Wiles利用這策略解決了費馬大定理（若 n>2，則 an +bn = cn 沒有整數解），事實上他更進一步把橢圓曲線連繫上 “Galois representation” ，並利用Galois representation找到問題的解。

Mochizuki把相同的策略用於abc猜想，他把Szpiro猜想連繫上他的新發明：Frobenioid。本來，他花了很多時間去發展一套“Hodge-Arakelov 橢圓曲線理論”，卻發現並不足夠，但在過程中，他得到了Frobenioid，一種新的幾何物件的代數特徵。

簡單幾何物件的對稱，連繫着 “群”；利用抽象的群，可以研究更上一層的對稱。橢圓曲線的對稱，便連繫着Frobenioid；利用Frobenioid的等性，可以研究整數深層的對稱性。

Kim說：「Mochizuki認為，解題的關鍵，在於由一個更基本的角度，去審視整數的特性。」

在第三天結尾及第四天開首，聖地牙哥加州大學的Kiran Kedlaya，解釋Mochizuki希望如何用Frobenioid去對代abc猜想。他在演講澄清了Mochizuki方法的中心思想，是這個會議最大的進展。Faltings，即Mochizuki的博士導師，在電郵中稱讚Kedlaya的演講在啟發性。

史丹褔大學的 Brian Conrad亦認同Kedlaya的演講是會議的高潮。聽過Kedlaya啟發性的演講，他期望接着的演講會更有趣味。

可惜事有願違。

‘好的混亂’

明白Mochizuki如何把abc猜想聯繫上Frobenioid是令人振奮的發展。但明白Mochizuki如何利用Frobenioid去解決問題卻是另一回事。

Purdue University的Chung Pang Mok和京都大學的Yuichiro Hoshi 及 Go Yamashita，負責在最後兩天解釋Mochizuki該四篇關於IUT理論的論文。 可以說，沒有人真的明白他們的解說。

University of Texas的Felipe Voloch連續五天在社交網站交代會議情況。如同Conrad，他的希望變為失望。所有與會者都迷失在奇怪的術語內。

迷失的原因有多方面。首先是在最後兩天的技術難度大幅提昇，這也可算在預期之內。其次是兩位日本講者慣了單向講解，不同與西方講者與聽眾互動的習慣。

雖然會議並未能帶出多少實質的發展，但的確燃起一些與會者的興趣。Kedlaya打算在明年七月在京都大學舉辦多一次會議。

有些人認為Mochizuki應該主動解釋他的工作。Faltings在電郵中提到： 「除非Mochizuki願意寫出一篇讓人明白的論文去解釋，否則問題無法解決。」

Kim卻認為未必需要，因為 “好的混亂”可以刺激人思考學習。Kim說：「在會議前，無人明白IUT文章，現在起碼有了一個概念。雖然仍然有問題，但卻是更有深度的問題。」

陶哲軒的不凡思路

The Singular Mind of Terry Tao (受朋友所托, 試譯)

陶哲軒的不凡思路

—神童如何成為大數學家 （怪獸家長注意，文章可能沒啥看頭！） 

今年四月，加州大學辦公室內，陶哲軒思索水會否爆炸。抽述水般流體活動的方程式，始乎沒有抺殺爆炸的可能。簡單來說，當足夠的能量聚集，拋一個錢幣入校園的水池，就會摧毁整個南加州。

數十年來，科學家都嘗試了解，這種爆炸會不會發生。陶氏希望用一個新方法來解決這個老問題。這個方法，據陶氏講，古怪猶如愛麗思夢遊仙境。(愛麗思夢遊仙境的作家Lewis Carroll，也是數學家。）

他說：「如果有個水做的機器，能自我繁殖，生出更小更快的下一代，最終有一代會去到極限，引發爆炸。」他一邊用手比劃，一邊笑着解釋：「我不是說有能力製造這種機器，只是作為思想實驗，用另一個角度考慮水爆炸的問題。」若然他能推導出這並非不可能，便順道解決了Navier-­Stokes global regularity problem，一個上百年的數學問題。（這條數學問題，是百萬美金千禧大奬的題目。）

陶氏身穿polo裇牛仔褲涼鞋，今年40。辦公室內：書桌在窗旁；黑板滿佈公式；梳化與牆邊有距離—好攞放上班用的單車；當然有個大書櫃，有很多書，包括 ‘‘Compactness and Contradiction’’ 及 ‘‘Poincaré’s Legacies, Part I’’—這是陶氏自少年時代出版的16冊書其中兩本。

生於南澳洲的陶氏，很早就成為新閒人物。家鄉的頭條： ‘‘TINY TERENCE, 7, IS HIGH-SCHOOL WHIZ.’’ （七歲小童唸中學），內文見陶氏蹲在椅上，才夠高用書桌，和他共用書桌的女同童年紀大他一倍。老師告訴記者，陶氏正在自學，比全班快兩堂。據說陶氏2歲時已懂閱讀。

報導之後數個月，還在學期中，陶氏升讀12班數學。三年後，陶氏成為史上最年青國際數學奧林匹克得奬者。之後，陶氏獲奬無數，包括MacArthur ‘‘genius’’ grant 及菲爾茲獎，後者更有數學諾貝爾奬之稱。今天，陶氏並認為是同期最出色的數學家。

陶氏告訴筆者，他對數學的認知，與兒時有很大的不同。「我成長時，早知我會做數學家，但卻不知甚麼是數學家。我以為是或者有個委員會，給我一些難題去解決。」真實是，做數學家與數學系學生有很大的分別。有些成績很好的學生，成不了好的數學家。由古至今，數學的真蒂並不需要做得快，而需要耐性及創意。有時要與人合作，有時又要即興。聽來，和音樂家差不多。陶氏認為，神童時代的他根本不是在做數學。只懂得彈奏技巧及樂理，並不表示懂得音樂。（我曾帶過三名中學生做暑期研究。沒有固定題目的思考，嚇怕了他們。）

十八世紀未的數學王子高斯，可能是有史以來最偉大的數學家，把很多研究成果收埋，認為世人並未能接受他的發現。他死後，後人才從他的遺物整理出一個個結果，以至他死後很多年還有論文發表。其他的著名數學家，如暴燥的牛頓，有幻覺的John Nash，及最近期謝絕一切奬項的隱居者Perelman，似乎都有點怪。

陶哲軒看來就太正常了！他寧願打份舒服的工，拒絕一些著名學府的招聘。他教書時，喜歡強調數學有趣的一面。他的學生捉狹說：「陶哲軒打破了荷里活天才學者的模型，他性格樂觀，生活正常，家庭和睦。肯定沒有人會拍電影講他！」（加州大學夠著名了罷？另外，其實九成天才，都是普通人一個）

天才的正常生活，源於正常的童年。儘管在外人看來，仍是不大正常。陶哲軒的父母來自香港，1971年移民澳洲，三年後誕下陶哲軒，之後還有兩個孩子。三兄妹經常一起玩耍，例如用不同棋類的配件，設計新的棋類遊戲。陶氏喜歡看幻想小說，上堂無聊時會畫幻想世界的地園。

陶氏8歲時，在SAT數學部分考獲760分，可以入大學了。但應該嗎？父母帶他到美國尋求協助。心理學家Julian Stanley建議，不要太急進，要有時間給陶氏發展正常的社交生活。在1985年，9歲的陶氏同時就讀中學及附近的Flinders University。

即使以不要太急進的速度，陶氏還是在17歲完成碩士論文(‘‘Convolution Operators Generated by Right-­Monogenic and Harmonic Kernels’’) 並赴普林斯頓唸博士。陶氏的入學申請，包括來自Paul Erdos的推薦信— 這位匈牙利數學家是近代最多產的數學大師。天才陶氏在普林斯頓的第一年，剛巧是三百年的費馬猜想被證實的一年，陶氏震驚地發現自已原來對很多數學領域一無所知！

尤如很多年青學生一樣，他晚上沉迷電腦遊戲 Civilization。（他現在避開電腦遊戲，因為太易沉迷。）他又與朋友去漫畫書店玩遊戲。這是他首次正式與同齡朋友交往，亦是他逃避普林斯頓讀書壓力的方法。事實上，陶氏與多數天才兒童一樣，害怕難以駕御的挑戰。他在Flinders University時，在量子物理一科，沒有準備，萬料不到要考量子物理的歷史，當場大哭被送離考場，結果當然不合格！

不過，陶氏還未有學乖。在普林斯頓，要通過三位教授的口試，才能繼續學業。口試的範圍很廣，通常要很多時間準備。陶氏又來個臨急抱佛腳，最終招架不來。據陶氏講，他當時覺得很對不起他的博士導師Elias Stein。事實上，過了口試，才是考驗的開始。

唸碩士有時還可以抄抄寫寫做論文，但唸博士卻要為數學增添新知識。新知識要靠嚴謹證明來支持。在尋找證明的過程中，你可能寫了很多很多紙，到頭來卻發現出了個邏輯問題，又要從頭試過。普林斯頓的Charles Fefferman，本身也是神童變成菲爾茲獎得主，把尋找證明比喻為與魔鬼博奕，不過遊戲方式很奇特：魔鬼技法超高，但你可以無限次數回棋；每次被魔鬼逼回，你就會試新的步法；若你足夠聰明，你終於會找到一絲擊敗魔鬼的曙光，但你仍然要面對很多次失敗。你可能需要一週，一月，一年去尋找證明。若你能夠成功寫完博士論文，表示你有聰明和毅力，去迎接研究的工作。

陶氏的研究，最著名的是關於質數，即只有兩個因數（1及自身）的正整數，如2,3,5,7和11。1不是質數，4也不是，6也不是。質數被視作數學的元素，任何一個正整數都可是分解為質數的積，例如12 = 2 x 2 x 3。

質數雖基本，但神秘。你永遠估計不到下一個質數出現在何處。有人甚至用音樂或詩篇去談論質數。質數連結很多不同的數學領域，假如量子力學。想象一個外太空的高等文明，他們不會懂說地球語言，但他們肯定知道質數及為之着迷。

陶氏的工作，源自法國數學家 Alphonse de Polignac於1849提出的雙生質數猜想：有無限對雙生質數。雙生質數即是相隔2的質數：5及7， 11及13，17及19，等等。在數線上，質數出現的頻率逾來逾小，雙生質數更是罕有，在2,237 及 2,239 之後，是2,267及2,269；在31,391之後 31,393，是31,511及31,513。順帶一提，古希臘的歐基里德早證明了存在無限的質數。 

當數學家面對不能應付的問題，他們會考慮相關但似乎較易的題目，期望得到靈感。陶氏於2004年與牛津的Ben Green合作，解決了一個雙生質數的相關問題。他們證明了Green-Tao定理：存在任意長質數算術數列。例如，3, 7 及11是長度為3的質數算術數例； 11, 17, 23 及29是長度為4的質數算術數例。於當年二月，Green來加州大學探訪陶氏，討論兩個月，證明了這個定理。該證明使用了很多不同領域的數學，創造了新的證明技巧，給其他數學家很多新的思考方向。

與人合作是陶氏研涯生涯的特點。大部分數學家都非常專門，但陶氏卻很廣泛，喜歡從合作中學習並很到新發現。他的一個老友及多年研究夥伴Markus Keel，形容陶氏為 ‘‘The Matrix’’ 的Neo，可以瞬間下載新知識及運用。菲爾茲獎簡介中，提到陶氏對Horn’s conjecture的頁獻。據稱他在唸博士時，與朋友在打玩中途，完成證明。這是一個與他以往研究大為不同的領域。在菲爾茲獎簡介中，形容這是英語小說家，突然改行出版優等俄文小說！

Green-Tao定理亦是如此。Green是數論專家，陶氏原本是做調和分析。與魔鬼博奕，需要各種不同的手段，惟有從觀摩其他高手的證明才能學習。 合作是減少學習時間，亦行少了寃枉路。

陶氏與Green參考前人的證明，改正錯的，拋棄方向不同的，最終修成正果。 若要探討他倆的結果，不可以忽略其他人的貢獻，例如英國的Timothy Gowers與匈牙利的Endre Szemeredi；但這些人的工作又建基於更最期的Erdos, Klaus Roth及Frank Ramsey等等。數學就是這樣一代代承傳下來。

陶氏與Green研究的問題，已經流傳多年，且當年很多數學家認為短期內無法解決。是以Green-Tao定理的證實，出乎數學界意料。這天筆者與陶氏午饍，談及近來有關雙生質數猜想的突破。陶氏認為，這個百年猜想，可能在十多年內得到解決。（其中一個突破，來自可以做勵志片主角，年青時籍籍無名的張益唐。）

晚飯時筆者去了陶氏在校園西邊的五睡房屋子。陶氏本來要帶12歲的兒子去學琴，但結果兒子去了拍廣告片。他的兒子早已在汽車廣告中出現。當陶氏的妻子帶兒子回來時，四歲的女兒剛吃完晚飯，正在食甜品。女兒見到媽媽，從椅子走下來，高興地跑來跑去。

陶氏是數學界的建橋者，把不同領域的數學家連繫起來。他現在亦是一位勤力的博客，在網上討論不同的數學，亦不嗇談及他的研突進展。他又發起網上數學合作運動，希望集眾人之力，解決數學問題。陶氏，被譽為廿一世紀數學家的典範。（可惜，新人不好學陶氏，否則閣下的貢獻將被埋在眾多的合作者之間，不利求職！）

訪問陶氏其間，筆者注意到他唯一的數學家特徵：專注思考，以致善忘。他時常不見書，着錯衫，忘了穿襪子—所以他着涼鞋算了。近來，他在坐飛機時最能做數，因為其他時間很多人找他給意見。

陶氏的兒子唸六年級，開始從網上學習高等數學，但他最愛最作，尤其是神怪作品。他亦喜愛Minecraft，但近來發現頗難過關。在晚飯時，提及與朋友嘗試證明1=0，但發現原來0不能作分母。陶氏似乎反一反白眼。

證明1=0不會有甚麼成果。但敢於嘗試一些匪夷所思的想法，對數學很有用處。很久以前，數學家發明了-1的開方，並把這個子虛烏有的數稱為虛數。虛數是現代工程及物理的重要概念。

中小學的數學有誤導性。學生以為知道應用前人的方法很到答案，就是得到答案。但數學，是需要去實驗，去撞版。數學是一本創意藝術。據說，上世紀初最具影响力的數學家David Hilbert，知道有同事改行寫小說，回應：「確實，他不夠想象力做數學。」

數學是抽象。兩個蘋果及兩個橙，抽出共同之象就是2。但陶氏似乎抽得過了籠。據說，有次他在考慮一個新的變動坐標時，躺在地上轉來轉去觀看。陶氏笑說：「我的姨姨剛好看見，但我解釋不了我做甚麼。」

陶氏最近關於水爆炸的工作，源於一位哈薩克的教授宣稱解決了Navier-­Stokes問題。陶氏看過後，肯定證明是錯了。他想進一步證明該教授的研究方向不可能解決談問題，所以深入去看，結果激發了他的想象力，一部會繁殖的水機器。數學未解決的猜想，同時是心理及數學的挑戰。陶氏一年前還認為Navier-­Stokes未能解，但今日卻覺得看到一線希望。當然，這個看似魔鬼的弱點，可能是另一個陷阱。陶氏說：「做研究要學會懷疑，要小心翼翼。」

這就是數學的吸引力，亦是數學的可怕。局勢在暗地裡變動。遊戲在繼續.

不再捉蟲, 改做蝠居, 食屎要大氮!

標題解釋: 放棄捉蟲習性, 葉桶變大吸引蝙蝠入住, 靠其糞便供給氮元素

出租葉桶都要賣包裝, 反射聲納的設計最能吸引想找地方落腳的蝙蝠.

With Sonar-Reflecting Leaves, Plant Lures Bats to Poo in it