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Tuesday, December 22, 2015

解迷的解之迷,再現曙光....

Hope Rekindled for Perplexing Proof

(三年前,一位出色數學家為abc猜想提出了難以明白的解。近期的一個會議,為這個謎樣的解,帶來不大清晰的曙光。)

本月初,數學界的注意力轉向牛津大學,為一個困惑了大家三年的謎,尋找曙光。
京都大學天才數學家Shinichi Mochizuki在2012年8月發表了四篇解以理解卻不可勿略的論文(see here),創始了一套理論並命名為 “inter-universal Teichmüller theory” (IUT theory) ,當中包含數論中著名abc猜想的解。
不過,很快數學界就發現,這套Mochizuki獨力用了二十年來發展的理論,幾乎無人可以理解。公認的天才數學家,以解難及注意細節聞名,沒有人可以忽視他的論文。而然,共超過500頁的論文,太多新的慨念及定義,根本難以閱讀。再加上,這位日本數學家拒絕外訪,以致曾經拜讀該論文的數學家無法解開疑問而放棄。
過了三年,這套理論幾乎被廢棄了。終於,在今年12月7日,世界有名的數學家在牛津大學Clay Mathematics Institue舉行會議,目的是嘗試了解這套理論. 牛津大學數學家Minhyong Kim是會議三個主辦人之一,認為這會議其實已經遲了。
Kim說:「大家,包括我與Mochizuki,開始不耐煩。應該有人做些事情,這是對數學界,對朋友,對自己,及對Mochizuki,負上一點責任。」
會議包括三天基礎講座,及兩天 IUT theory深入討論,包括關於第四篇論文的講解。第四篇論文內有abc猜想的解。無人認為只用一星期的會議就能明白這套理論,大家都只是希望能得到個大概,認清這套理論是否正確,是否有用,是否值得繼續研究。
三天基礎講座,似乎令人感覺有希望。
解題新方向
abc猜想的解介:除了有限個例外,若然正整數 b = c,則 c 的大小會被 a與 b的質因數所規限。
質數作為整數乘法之本,與整數加法,從來沒有明顯的關係。所以任何把兩者連在一起的命題,都是非常重要。
1985年提出的abc猜想,在Mochizuki的四篇論文之前,進展不大。但數家界早知些猜想與其他著名數學問題有好大關連。例如在 1986年德國Max Planck Institute for Mathematics的 Gerd Faltings 憑着證明Mordell猜想取得費爾茲獎, 以後美國哈佛大學的 Noam Elkies 發現abc猜想可以改良Faltings的定理。
abc猜想亦等價於由法國數學家Lucien Szpiro在1980代提出的Szpiro猜想。abc猜想是關於整數的,而Szpiro猜想則是關於橢圓曲線。將整數與橢圓曲線拉上關係,是一個常用策略。一方面它使得數論問題變得抽象及難於表達,但另一方面它引入更多解題技巧。在1994年Andrew Wiles利用這策略解決了費馬大定理(若 n>2,則 an +bn = cn 沒有整數解),事實上他更進一步把橢圓曲線連繫上 “Galois representation” ,並利用Galois representation找到問題的解。
Mochizuki把相同的策略用於abc猜想,他把Szpiro猜想連繫上他的新發明:Frobenioid。本來,他花了很多時間去發展一套“Hodge-Arakelov 橢圓曲線理論”,卻發現並不足夠,但在過程中,他得到了Frobenioid,一種新的幾何物件的代數特徵。
簡單幾何物件的對稱,連繫着 “群”;利用抽象的群,可以研究更上一層的對稱。橢圓曲線的對稱,便連繫着Frobenioid;利用Frobenioid的等性,可以研究整數深層的對稱性。
Kim說:「Mochizuki認為,解題的關鍵,在於由一個更基本的角度,去審視整數的特性。」
在第三天結尾及第四天開首,聖地牙哥加州大學的Kiran Kedlaya,解釋Mochizuki希望如何用Frobenioid去對代abc猜想。他在演講澄清了Mochizuki方法的中心思想,是這個會議最大的進展。Faltings,即Mochizuki的博士導師,在電郵中稱讚Kedlaya的演講在啟發性。
史丹褔大學的 Brian Conrad亦認同Kedlaya的演講是會議的高潮。聽過Kedlaya啟發性的演講,他期望接着的演講會更有趣味。
可惜事有願違。
‘好的混亂’
明白Mochizuki如何把abc猜想聯繫上Frobenioid是令人振奮的發展。但明白Mochizuki如何利用Frobenioid去解決問題卻是另一回事。
Purdue University的Chung Pang Mok和京都大學的Yuichiro Hoshi 及 Go Yamashita,負責在最後兩天解釋Mochizuki該四篇關於IUT理論的論文。 可以說,沒有人真的明白他們的解說。
University of Texas的Felipe Voloch連續五天在社交網站交代會議情況。如同Conrad,他的希望變為失望。所有與會者都迷失在奇怪的術語內。
迷失的原因有多方面。首先是在最後兩天的技術難度大幅提昇,這也可算在預期之內。其次是兩位日本講者慣了單向講解,不同與西方講者與聽眾互動的習慣。
雖然會議並未能帶出多少實質的發展,但的確燃起一些與會者的興趣。Kedlaya打算在明年七月在京都大學舉辦多一次會議。
有些人認為Mochizuki應該主動解釋他的工作。Faltings在電郵中提到: 「除非Mochizuki願意寫出一篇讓人明白的論文去解釋,否則問題無法解決。」
Kim卻認為未必需要,因為 “好的混亂”可以刺激人思考學習。Kim說:「在會議前,無人明白IUT文章,現在起碼有了一個概念。雖然仍然有問題,但卻是更有深度的問題。」