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Tuesday, February 28, 2006

美麗的『空白』

美麗,有不同的定義。能給與觀賞者遐想的空間,也是一種美麗 - 這就是所謂「留白」罷!

留白的意思,在於以最少的內容帶出創作者的思想;給觀賞者足夠想像空間之餘,又不致偏離作者的原意。

留白,太小則成了死板陳述,太大則可能空洞乏味。所以留白絕對顯示創作者的實力。


中國的水墨畫,講求「自然」,要以留白表達的思想;左圖是八大山人的作品,是典形的水墨畫作。

圖畫有留白,還有其他的留白:

現代舞,有點近乎『不立文字』的境界;但筆者往往功力不夠,不能了解舞者的意思。

寫文章,有所謂「不要畫公仔畫出腸」,最好能做到『書不盡言,言不盡意』。

城市規劃,要有『公共空間』;足夠的空間,才會讓人住得舒服。敢問多位地產公司高層,有住在自己公司起的樓盤嗎?

家居擺設,不要弄得水泄不通,這對空氣流通及家居安全不好。

撰寫法律,也不要寫得太死,這就是『創造性含糊』(creative ambiguity)。

Sunday, February 26, 2006

最美麗的方程式

大數學家歐拉(Euler)發現的方程式

ei π+1=0


譽為最美麗的方程式,因為它包含了五個最基本(或最重要)的數學單元:歐拉數e虛單位i圓周率 π,1 和 0。

注意:黃金比例φ並不包括在內,事實上黃金比例在純數學中的應用相對有限。

歐拉數的命名,是要表彰歐拉對這個特別數字的研究。歐拉數以e代表,也是由歐拉開始(但以乎並非蓄意利用自己名字的首字母)。e在數學的地位,與它在坊間數學小品的罕見,似乎不成比例;一般人要在高等數學才開始接觸e,可能是一個原因,但其實e與香港人的生活息息相關。

當本金為1,年息為1,逐年計算,一年後本利和是 (1+1)1=2;
逐月計算,一年後本利和是(1+1/12)12=2.613;
逐日計算,一年後本利和是(1+1/365)365=2.714;
逐秒計算,一年後本利和是(1+1/525600)525600=2.71828278721;
如是都,把計算的時距不斷縮窄,極限的本利和就是e=2.7182818...

當本金為A,年息為r,一年後的極限本利和就是 A er。可以想像到,所有的金融生工具都與e有關!

直至高中,課本都說所有數字的平方都是正數;所以只有『子虛烏有的數』,即虛數(imaginary number)才可能是 -1 的平方根,記作 i。古代的數學家不想面對這樣的數,但它不斷在數學中出現,逃避不了;直至把 i 等同平面上 (0,1) 這一點,數學家終於擺脫迷思,得出一個二維的數字系統。

可以見到,這是一個革命性的新數字系統,有很多在一維數線上不可能的特性 - 例如正弦(sine)竟然可超過 1!虛數的應用更加進入了物理學,但不時以j代替i,以免與電流符號混淆。

圓周率 π 是圓形的周長與真徑之比,其用途及重要性不用多說。由最古老的『周三徑一』(即 φ=3)到現代準確度達百萬位的計算,關於 π 的故事幾可平行於人類歷史!令人迷惑的是,古人憑甚麼斷定圓周是 2 π r 及圓面積是 π r2

計算π有很多方法,其中一個有趣的方法是

π/2 = (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)(8/7)(8/9)...


理論上可以由此把π計出來,但要很久很久很久...(打呵欠)。

1 當然重要,它是我們第一個學習的數字呀!其實 1 應該是最常用的數字罷。究竟「一」的概念是否在天生的,亦存在爭議。當然在哲學層面1也是重要的,有所謂『萬法歸一』嘛!

0 的重要性,亦不用多說。但 0 是甚麼,卻不好解釋。自 0 作為位置符號(例:用以區分17或107)面世,以至被接受成數字,它的歷史充滿着哲學和實用的比拼 - 畢竟把「零」、「無」、「道」、「空」四個概念混淆仍大有人在。

最後,如果閣下是在找尋『最美麗容貎的方程式』,這篇文章標題可能誤導了你,請容筆者說句「對不起」。

Saturday, February 25, 2006

對美的追求:由 φ 與 π 到電子音樂


右邊的希臘神殿號稱根據黃金比例,φ=1.618...所建,但實則測度卻是1.71,有接近 6% 的誤差!就統計學而言,這誤差太大了。

右邊的大金字塔的底邊長度與高度之比乘以2是圓周率,π=3.1416...。實際測度是3.16,誤差只是 0.6% ,好像不錯;但若同時量度其他金字塔,會令人懷疑與圓周率關係完全是巧合(見這裡)。


為甚麼會有這些誤解?

首先,是對古代文明的驚歎及誤解,不自覺把現今科學知識套入古代時空中。

其次,是太強調美學與數學的關係(似乎源於文藝復興),容易以主觀願望令人接受一些較大的誤差。

在想把美學理性化的年代,這些似乎不可避免;但究竟美是否真可以純理性研究?

曾經看過一套卡通片,有一個星球科技先進,每個音符都太完美了,結果地球上一個五音不全的少女歌聲被視為驚艷!

事實上,現代的音樂軟件已可得出最完美的聲音,卻先去人性化。所以電子音樂家反而故意加上一些干擾,反而聽得舒服。某音樂人曾說:

"With modern music software it’s easy to create a perfectly even sine-wave tone. The sound will annoy you after listening to it for a few seconds.

Why is that? One of the reasons is that it is too even, too perfect. If you add a little modulation too it, the sine-wave is beginning to sound more interesting."

Friday, February 24, 2006

黃金比例

上一篇談到所謂美的面譜,φ-mask,宣稱黃金比例(φ=1.618...)是人類美的標準。但盡信書不如無書,畢竟那個卡通人面也不見得真是美!事實上,Dr. Stephen Marquardt的所謂證據其實有極大的主觀成分!


很多人說黃金比例是古希臘人對美的定義,但這純綷是誤傳。關於黃金比例的美的理論,很多時不是主觀,就是有些穿鐅附會成分。最出名是人的身高與肚臍位置高度成黃金比例〔見左圖〕,其實也沒甚科學理論支持,只是達文西的想法影嚮了後世藝術家而已!



在George Markowsky的文章中揭露了很多關於黃金比例的謬誤。其中關於最美長方形的研究,發現人眼中最美的長方形,原來不是黃金比例的長方形〔見右圖 φ=1/b=b/a〕,打破了藝術家很多關於黃金比例的迷思。

有興趣的讀者,也可以看看Mario Livio的《黃金比例》(原名The Golden Ratio),前些兒商務印書店還有售。此書介紹黃金比例及有關謬誤,可以推荐給初學者。

因為黃金比例的特殊數學性質,令它在自然界及統計學有一定的地位;或者最後真的被證明是美的客觀標準,也未可知!

黃金比例其實是 φ=(√5 + 1)/2,但最有趣的表達式,是連分數如下:

Wednesday, February 22, 2006

心善則美?平均則美!

前些時有套電視劇宣揚所謂『心善則美』,似乎太過童話化。若如是,則美容院早關門大吉,怎會成行成市!

有些人以手術追求美,即人造美女,感覺頗嚇人。但究竟誰判別怎樣變臉才是貌美?是顧客還是醫生?根據甚麼標準?若美貌標準改變了,是否要再做一次手術?

當然,關於何謂美貌,已有很多科學研究。在維基百科中關於吸引力的討論,學術化得令人窒息。

在2005年,有一篇關於美貌的論文《Attractiveness of own-race, other-race, and mixed-race faces》,香港報章也有提及。研究員要以統計學模形融合不同的臉孔,得出不同的虛擬容貌,然後邀請參與者把不同的臉孔按美貎程度評分。結果是相熟人士的平均面孔,是最吸引的!

也可以說,我們心中的美人兒,就是在我們「中間」!美人,原來不是如何特出,而是如何平均。

論文也說為何有這樣美的感覺:雖然生育已可能不是最要緊,但人類潛意識還是要找個基因最好的;與大多數人相同的基因,必是最好的;就這樣,多數人的平均,便成了選擇的最簡單條件!

噢!當然還有所謂黃金比例 φ=1.1618,面孔的相關部分適合黃金比例,被相信是美的條件。不信,可以自己去看看這裡。Dr. Stephen Marquardt由此而得出著名的 φ-面譜(phi mask),宣稱是美的模型,如下圖示 -



當然心善仍是美,但卻不是貌美,應該是氣質的美罷!

Tuesday, February 21, 2006

求存求善

Richard Dawkins的著作《The Selfish Gene》中,基因的自私引致物種的演化及社會的發展,譬如:工蟻辛勤勞動,哺育幼蟲,為的是使自己的基因延續下去。如是者,行善也是自利。

現代經濟學認為人的自利行為,是人類經濟活動的基石。如是者,自利也是行善。

或者可以簡單的說:求善就是求存。

但求甚麼的存在?求自身的存在?求家庭的存在?求國家的存在?求民族的存在?求文化的存在?求人類的存在?抑或求大自然的存在?

有謂自身存在是小我小善,其他的是相對的大我大善,所以有『犧牲小我,完成大我』之說。

若真有輪迴,大我存在,可保障小我來生的存在;小我和大我沒有根本分別。

不過有時看來的善,其實是惡;看來是惡,其實是善。限制外國貨,看來可保障本國工人,但其實損害消費者,反倒可能傷害經濟;接種牛痘,把病毒輸入身體,似乎有害,但卻可刺激免疫力,幫忙抗病。

有說『善有善報,惡有惡報』,但認稱善惡,倒未必容易。怪不得古人云『格物明德』:要知道事實的真貌,才能明辨是非。

但事實的真貌,因果的關係,當然難以掌握。要掌握善惡,還是要靠五個字:教育研究

Monday, February 20, 2006

生之謂性

朋友的文章談到人生的開始,於是想起『人之初,性本善』。當日中文老師曾提過除了孟子性善荀子性惡之外,還有另一人。

筆者中文修飬有限,唯有上網查詢。孟子和告子之間與荀子和孟子之間人性觀的爭論,原來一向是中國人性論史的重要課題。

網上一篇文章《告子、孟子和荀子的人性論證平議》,作者張炳陽的解釋給筆者上了一課。

告子認為人的本質(性)無所謂善與不善,所謂食色性也,道德是後天的枷鎖;告子的「善」是相對的,沒有標準的。

孟子認為人性不只食與色的動物性,還有人天生傾向善的感情,等待萠芽;孟子的「善」是「心善」,其實是指人心所向。

荀子認為人天生感情是粗糙且沒有傾向(即性本惡),需要後天教導。荀子的「善」是指「禮義法正」的行俓。

筆者不欲班門弄斧,但甚麼稱為『善』倒是個問題。文章中說三人的善根本不同。

根據現令資本主義經濟學,每個人的自私心反而推動社會進步;就如工蟻努力工作,餵哺幼蟲,其實是要令自己的基因(與幼蟻完全相同)保存下去。

如是說,為善亦只是生存必需而已!不過可能要透過教育,明白怎才可以為善,可以生存。當然受制於還境,一人的善可能是他人的惡。

如是說,告子正確,孟子似乎也對,但荀子又不大錯!

是了,所謂『有情眾生』,似乎萬物也是性本善;因為所謂狼子野心,對狼而言,亦是善!

在電視劇《覆雨翻雲》中,立志推翻明朝的大奸角,亦只是一心為同族人(蒙古人)做事的『義士』而已!

Friday, February 17, 2006

情由心生?心隨情動!







© Kathy Mak September 2004 -
相片來源:香港中文大學
說文解字的「心」現代中文的「心」歐洲傅入的「心」形

當思想感覺時,就會心跳。古人斷定心是思想之源,但其實因果倒置,腦部思想需要大量血液運送飬分,以致心跳加速:-所以『情由心生』是錯,『心隨情動』才真!

但情由心生的想法,結果是「心」「忄」成為多數情感字匯的徧傍,例如「愛」、「惡」、「怨」、「恕」、「情」、「恨」、「悔」、「憎」。

中文的「心」,是象形的極致!且看《說文解字》的「心」,以致現代的「心」,都隱約見到心臟的形象。

歐洲的心形,相比就較簡單,但卻更容易讓人發揮創意¹。心形朱古力、心形薯仔、心形賀咭等,都是送給情人的恩物!

註1:是數學上所謂簡單通連的形狀,即中間沒有斷裂或空洞。

Tuesday, February 14, 2006

朱古力的學問

中國元宵之後西方情人節,就說說頗受歡迎的朱古力。

以前在《多性戀》曾介紹真菌網站在多年前二月的文章。這個網站每月都會介紹不同的真箘,而二月的往往與情人節有關。今年二月這個網站介給是有關朱古力的真菌

首先是叢枝菌根菌(Acaulospora scrobiculata)一類與可可樹根作共生關係的真菌,幫助可可樹吸收泥土的飬分。

然後是把可可豆發酵的酵母菌,例如克魯斯假絲酵母(Candida krusei,它幫助減低可可豆的苦味。

遠在印加文化之始,印第安人開始種植可可樹,可可豆甚至能作為通用貨幣。印第安人以可可豆汁加入各種香料成為飲料,此飲法輾轉傳入歐洲;十七世紀時,糖取代胡椒成為最受歡迎的朱古力添加劑;隨着英法各國自行種植可可樹,打破西班牙襲斷,本是貴族飲料的朱古力終於進入平民百姓家。

為甚麼人會喜歡略帶的苦味朱古力?研究指出可可豆有多種刺激大腦的化合物(如㗎啡因(caffeine)安南得邁(anandamide)),帶出歡愉的感覺。但我想商人的推銷,更是加強朱古力是甜蜜化身的地位!

朱古力是有益或有害,仍具爭議,但適可而止,永遠是最佳做法。

在《The Exploratorium》有一篇關於朱古力的特刊,值得一看。

朱古力,不知為何又叫巧克力,但我總覺前者較好,皆因大多數朱古力都是近朱色(紅色)的。

Sunday, February 12, 2006

數學燈謎

元宵佳節,讓我也來湊湊興,來個燈謎,全部射數學名詞:

1.郵費;
2.祖訓;
3.美顏大忌(諧音格);
4.搶手照相;
5.員;
6.二牛打架;
7.致病者(中英格);
8.謊話連篇(中英格)

『中英格』是我自創的名詞,指經“中文→英文→中文”的過程。

例:約會,射食品,中英格

答案:棗(解:約會→ date →棗)

以上燈謎其中除5,6外,皆是拙作,煩請賜教。

有朋友謂當中數學名詞太難,不適合作燈謎。我想同理,現今《大學》、《論語》等文章也不宜採用。

不過有時或者應弄弄花巧。怱然想起:王安石的「明月枝頭叫,黃狗臥花心。」給蘇東坡改成「明月當空照,黃狗臥花蔭。」後者似乎更言知成理。但原來王安石的「明月」是一種鳥,「黃狗」是一種蟲 - 他的詩故作玄虛卻另有一番奇趣!

不過我想沒人用明月鳥及黃狗蟲作燈謎。不知兩者的學名是甚麼?

燈謎謎底:1.函數 2.公理 3.面積(面漬) 4.映射 5.圓心 6.對頂角 7.矢量(vector) 8.李群(Lie group)

Saturday, February 11, 2006

失敗的上一篇

上一篇其實非常失敗,剎那的衝動寫下標題。

原以為找0=1不難,怎知所想到的例子原來都是 f(1)=f(0) 的函數而已。

想勉強把『無陰功=陰功』,『好不容易=好容易』加上去,把似乎這只是『無=有』。

當然把《道德經》拉進來,可能有:0=無=道=有=1。但這似乎不太道德。

再加上www.blogger.com原來還未支援mathml,不容易輸入數學符號,更使我寫得意興蘭珊。

不過既然已開了頭,又不想放棄,最後還是把那篇不成氣候的文章發表了。

希望之後再也沒有這麼失敗之作!

---- 立此存照,以作警愓!

Friday, February 10, 2006

無性或單性?

無性繁殖=單性繁殖?沒有雄雌的生物,是無性抑或單性?

其他“0=1”的事。

0!=1!

0 × 0 × 0 ... × 0- 0 = 1 × 1 × 1 ... × 1- 1

limx → 0+x x=limx → 1+ x x

Thursday, February 09, 2006

我的第2篇

有朋友云,《我的第一篇》並非名實不符,皆因這是今年二月的第一篇。

如是,《我的第2篇》是《跨物種婚姻》後的第2篇,也非名實不符。

『減肥茶』或『瘦身套餐』起碼可以令你的荷包減肥瘦身。

『無敵海景』往往並非說謊,只是錯别字,應該是『無滴海景』!

『天下烏鴉一樣黑』的「天下」是指「沒有白烏鴉的地方」。

『貓有九命』中的「命」可定義為一隻貓生命中九分之一的時間。

『鉛筆』起碼不是鋼筆!

『灌湯餃』不過是把最後兩字倒轉來讀,即『灌餃湯』是也。

總之,有名無實,可能只是觀點與角度而已。

Tuesday, February 07, 2006

多性戀

有沒發覺,科幻小說中的外星人,要麼是單性(以至要研究地球人的兩性生活!),要麼也是兩性(這是和地球人發生戀愛的條件)。

為甚麼外星人不會有比地球人更複雜的愛情生活?不會有三性,四性,甚至更多?

一個可能是,科幻小說作家的想像力掌握不了多性生活!這也難怪,人是很難想像未見過的東西。

世上有否多性生物?有,但不是動物,而是真箘!據真箘專家Tom Volk在2000年情人節前後一篇關於真箘性生活的文章 http://botit.botany.wisc.edu/toms_fungi/feb2000.html 所載,世上有一種名為裂褶箘(Schizophyllum commune) 的常見真箘共有超過28000種性别!

該篇文章是為情人節所寫,正好現在拿來討論(:p)

裂褶箘,相片來源:OSU

多性真箘的性别基因都是一對兒,一記作A,一記作B。不同的A或不同的B都定義出不同的性别,如 A1B1,A1B2,A2B1,A2B2就代表不同的四種性别。兩個同類真箘要結合,就要A及B皆不同,如 A1B1與 A2B2,及 A1B2與 A2B1。

褶箘有300多種 A 及90多種 B,怪不得有如此多性别;而每種性别可與超過27997種其他性别結合,性生活夠多姿多采罷!

人類只有兩種性别就有這麼多事,試想像若人類有這麼多性别,是甚麼光景!?

不過我不會想這個太多了,現在要想想怎樣過情人節,嘻嘻。

Monday, February 06, 2006

跨物種婚姻

注意:標題是『跨物種婚姻』,不是『跨種族婚姻』。

在神話小說裡,這種事很多,但動物多要先化為人身。如《聊齋》中有人狐成婚,《白蛇傳》的白素貞(蛇妖)與許仙等。成語《南柯一夢》中淳于棼成為蟻國駙馬亦在此列。在現實中,有與生雞拜堂,但這只是以生雞作代表而已。人與獸的結合,當然被視為不道德。

在科幻小說裡,似乎所有高等生物都可以相戀、結合、生育,如《龍珠》中的地球人和撒亞人,《星空奇遇記》(Star Trek)中的地球人與克林貢人(Klingon)。可以知道,若他日真的有外星人來,與人類的生理結構差異太大,結婚生子的機會微乎其乎!

在大自然裡,不同物種幾乎都不可能結合。即使人工環境內較接近的物種能結合,生下的孩子極有可能不育,就如虎與獅所生的獅虎(虎父獅母)或虎獅(獅父虎母),及驢與馬所生的騾。這些雜種的誔生,亦被動物權益者視之為不道德。

穩定婚姻

女人甲喜歡男人乙甚於她丈夫,男人乙亦喜歡女人乙甚於他妻子,容易發生婚姻問題!

所謂預防勝於治療,婚前沒有揀錯,才是最好。

對於適婚男女比例1:1的社區,有個好辨法:「每一回,未有婚約的男人輪流向未曾拒絕過他的最心儀女子求婚 - 若女子未有婚約,就要答應;若女子有婚約,但認為男人比未婚夫要好,則可以悔婚。」(見例子

這個是『穩定婚姻問題(stable marriage problem)』其中一個數學解,但現實那有如此兒戲;就算這方法可行,誰能保證人的喜好不會隨年月而變,婚後也可變心!

不過,這個方法主要是用於僱員與工作配對,這倒不用長相廝守。

例 子:以下社區,有男人A,B,C ,D及女人a,b,c,d。A認為 a>b>c>d,B認為 a>b>d>c,C認為 c>a>b>d,D認為 a>c>b>d;a認為 B>A>C>D,b認為 B>C>D>A,c認為 A>C>D>B,d認為A>B>D>C。(>當代表更好)

第一回:A向 a 求婚,a答應;輪到B向 a 求婚,a 認為B比A好,改與B訂婚;輪到C向 c 求婚,c答婚;最後D向 a 求婚,a拒絕。結果,A和D沒有婚約。

第二回:A向 b 求婚,b答應;輪到D向 c 求婚,c拒絕。結果,只有D沒有婚約。

第三回:D向 b 求婚,b 認為D比A好,改與D訂婚。結果,A再次沒有婚約。

第四回:A向 c 求婚,c拒絕。結果,A再次沒有婚約。

第五回:A向 d 求婚,d答應。結果是,A 配 d,B 配 a,C 配 c,D 配 b。

這樣子,文章開首的情況不會發生。

Friday, February 03, 2006

高智求愛?

數學家,邏輯學家,兼迷語大師 Raymond Smullyan 在作品 Some Interesting Memories: A Paradoxical Life 中提及追求他太太 Ilsa 的經過:

首先,向當時新相識的 Ilsa,提出簡單的要求 - 『我把預測寫在紙條上。若我猜對,妳給我一個簽名;若我猜錯,就不用給。可以嗎?』 - 這樣簡單,沒理由不答應!

然後,遞上預先準備的紙條,上寫着「妳不會給我簽名,也不會給我一個吻!」如果 Ilsa 不想送吻,會出現兩種情況 - 若她不給他簽名,根據協議,她就要給;若她給他簽名,根據協議,她不用給 - 必然出現矛盾。要沒有矛盾,Ilsa 唯有送吻!

據說當時 Ilsa 真的送吻。但當然囉,世界這麼多矛盾,多一個不算多,若 Ilsa 沒有意思,做甚麼也沒用!

給初學數理邏輯的朋友:若把 p 代表『簽名』,q 代表『送吻』,則整個命題是 (~p∧~q)↔p 等價於 q。

數學情歌

在2003年美國五個無聊的學生組成合唱團 The Klein Four Group,
http://www.math.northwestern.edu/~matt/kleinfour/
。他們的情歌,用大量語帶相關的數學詞匯,非常有趣。他們的歌先在網上流傳,出乎意料受歡迎,並於去年十一月輯錄成唱碟。(是否想起 Kellyjackie?兩者同時紅得上 Wikipedia!)

當中較有名的歌包括 Finite Simple Group (of Order Two),中文譯名可以是

簡單的一對兒 - 誰也看得明白罷?



有限簡單二元群 - 這是個純數學譯名,其實就是0與1(0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0)。

歌詞中的 path, smooth, simply connected, function, forgetful,等等,全都有特別的數學意義。有評語云:不知他們唱甚麼,好像是數學,但最緊要好玩!

事實上 The Klein Four Group本身就是如下一個數學物件!(可查看Wikipedia

*1ijk
1ijk
ii1kj
jjk1i
kkji1

Wednesday, February 01, 2006

我的第一篇

歡迎閱讀《我的第一篇》。這不是我的第一篇?啍!我喜歡改這樣名實不符的標題。

名實不符的稱謂很多:

『第一屆立法會』,其實是第二屆立法會,但因政治故意把第一屆喚作臨時立法會。

『都會駅』,不是在日本的車站,其實是在香港的樓盤。

『星洲炒米』,『楊州炒飯』,及『french fries(薯條)』的地名,都不是真正的原產地,純是標搒外來貨而已!

『臨時房屋區』,臨時了超過十年。『地下鐵路』原先真的全在地下。沙田的『海旁道』,在海邊嗎?

魚,在古代泛指一切海中生物,但在現代生物學中卻有特殊定義,是以『鯨魚』,『星魚』,『八爪魚』等,在今天變得名實不符。同理還有不是樹的『香蕉樹』及『鐵樹』。

當然還有不是鉛做的『鉛筆』,有花的『無花果』,及沒有錫的『錫紙』。