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Tuesday, November 24, 2009

新藍

Scientists Discover a Perfect Blue Pigment—Entirely by Accident

誤打誤撞, 得到新一種藍色顏料, 據稱無毒耐熱, 比現時代用勝一酬!

(我的blog有個"色"字, 當然要講"色"啦!)

Tuesday, November 17, 2009

少數決

著名漫畫《LIAR GAME》, 內容是一位誠實善良的少女, 被捲入不同回合需要欺詐取勝的博奕遊戲, 幸得一位天才少年的幫助。 可否從數學角度分析內裡的博奕遊戲? 答案是可以又不可以。

以第二回合的少數決Minority Rule為例。 最早相關研究是1994年W. Brian ArthurEl Farol Bar problem, 但現在這類博奕遊戲歸類為少數者博奕Minority Game, 是由Yi-Cheng Zhang 及 Damien Challet提出的:

有兩種或以上的項目, 由玩家進行投票, 而勝利者是那些把票投向得票最少項目的。

舉例來說, 有項目A及B, 由十位玩家投票, 若六位投A而四位投B, 則投票于B者勝。

這是一個非常"公平"的遊戲, 因為要操縱結果使自已獲勝, 就要使大量的玩家投向與自已相異的項目, 所失必大于所得。

若這是個重複的遊戲, (不像漫畫內人數不斷減少), 便會有「納什均衡」: 即每位玩家各自有一套隨機投票的策略, 而獨自改變規則不會有更多的利益。 簡單的說, 若敵不動而我先動, 我不會有甜頭, 所以還是按原先的隨機投票行事。 就例子來說, 每一個人都50%投A及50%投B, 就是納什均衡。

但如果容許結盟呢? 因為不可能操縱結果, 頂多是設計到每局打和。 這也是漫畫中主角開始時的策略。

真的沒有更好的策略嗎? 真的不可以操縱結果嗎? 漫畫中有個奸角, 不是憑着同時加入所有結盟, 幾乎達到勝利! 如果他是老老實實的結盟, 勝利的結果是所有人平分所得; 但他一開始欺騙, 最後便因欺騙而敗, 這才是漫畫內的信息。 這些與遊戲設計無關的欺騙手段, 就不是數學分析得了。

少數者博奕有沒有現實例子呢?

最簡單的, 就是在幾條差不多路程的行車線中選擇。最少駕駛者選擇的, 當然行車最快。

另外, 有一種"唯一最低價"的拍賣方式。 即每次拍賣, 由只得一人出的價中, 揀出最低的拍賣價。 例如3人出價2元, 1人出價3元, 4人出價4元, 1人出價5元, 則只得一人出的價是3元及5元, 當中最低的是3元, 於是出價3元的人勝出。"唯一最低價"有着極濃厚的賭博性質, 如此方法經營可能與香港法律相違, 例如今年三月就曾出現新聞(見[1])。

利用少數者博奕原理, 是可以有新一種網上營銷書籍或音樂的手法。 本人和一些朋友曾考慮過, 但卻因可能觸犯賭博條例而打退堂鼓。 不過, 我亦向一些有生意經驗的朋友查詢, 不過他們老是說小心版權條例, 完全抓不着重點, 真氣人!

Monday, November 16, 2009

摺紙戰士, 數之秘技

漫畫《摺紙戰士》是台灣人周顯宗出品, 但與日本的眾多精靈對戰漫畫都是同一個模子出來, 可謂乏善足陳:

宇宙分為人界與精靈界。 一個人用紙摺出的東西, 可以用棈靈的力量變成道具, 例如武器。 黑暗勢力要利用這神奇的摺紙統治世界, 而正義的摺紙戰士奮力對抗。

電視版在2005年已經拍完。 但翌年12月, Roger C. Alperin 及 Robert J. Lang 證明了存在一個只屬於數學領域的超現實摺紙世界!

摺紙, 這裡只用一張正方紙來摺, 過程不許剪開, 英文稱為(pure) origami。是的, 又是日本人把中國的傳統技藝發揚光大。更要緊的是, 日本數學家及摺紙家藤田文章(1924-2005)及羽鳥 公士郎成功提出一套『摺紙數學』系統! 摺紙數學與電腦的出現, 使得超級複雜的摺紙造型得以出現。

這套摺紙數學系統, 包括七條"摺紙公理":

O
1
:給定兩點 P1 P2,存在唯一摺線通過此兩點。

O2:給定兩點 P1 P2,存在唯一的摺線把 P1 摺到 P2 上。

O3:給定兩線 l1 l2,存在唯一的摺線把 l1 摺到 l2 上。

O4:給定點 P1 與線 l1,存在唯一的摺線垂直於 l1 並通過 P1

O5:給定兩點 P1 P2 以及線 l1,存在摺線把 P1 摺到 l1 上並通過P2

O6:給定兩點 P1 P2 以及兩線 l1 l2,存在摺線把 P1 摺到 l1 上並把 P2 摺到 l2 上。

O7:給定點 P 與兩線 l1 l2,存在垂直於 l2 的摺線且把 P 摺到 l1 上。

可不可以把這系統再增大呢? Robert J. Lang 證明了這系統已經是完備, 即所有現實可摺的方法, 都已包含在這系統內。

理論上, 摺紙可以解決所有二維方程的解, 即可以(接近)摺出圓形、橢圓、拋物線等, 卻只可以解決一部分三維方程的解。 Robert J. Lang 及 Roger C. Alperin提出, 為可限制在平常的摺紙法? 雖然在現實裡, 因為一張紙不能穿過自身, 所以不可能同時摺二下, 三下, 四下.... 但在數學上, 沒甚麼不可能的理由。他倆在2006年的One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms證實了, 超現實的摺紙法可以無限的接近任何曲線。

是的, 在《摺紙戰士》電視版有很多古怪的造型, 但卻是精靈的力量變出來, 不是摺出來。若周顯宗知道數學有超現實摺紙, 他可會有較創新的念頭? 或者不再需要精靈?

順帶一提, Robert J. Lang是一位工程學家兼職業摺紙藝術家。 真的, 他有靠摺紙賺錢的。 能夠遊走於數學與藝術之間, 甚至把兩者結合, 絕對是區區的一位偶象!

Thursday, November 12, 2009

鬆毛鬆翼, 曉唱歌嘞!

Singing Wings from Carl Zimmer on Vimeo.



用對翼發聲吸引異性的雀公!

中環的功利文化為甚麼不要保育? * 檢視 * 編輯 * 追蹤

戰國時, 有一個杞國, 杞國裡有一個人, 忽地心血來潮, 擔心:『天會不會掉下來?』
好一個白痴問題, 天怎麼會掉下來! 從此, "杞人憂天"變成形容瞎擔心的成語。

幾天前, 忽地心血來潮, 想到一個杞人憂天式的問題: 『中環的功利文化為甚麼不要保育?』

有位保育人士的答案是: 『如果閣下覺得中環的功利文化好鬼有價值,咁咪去保育下佢囉。點解無人保育功利文化?你去咪有人囉。』 估不到, 笑人白痴, 可以如此婉轉!

可惜的是, 他的答案不太完備, 亦不甚準確, 而且解答不了我的問題。 不過我也有責任, 因為我的問法誤導了他。

在自覺生活水準下滑到不可接受時, 人的思想行為不其然向自身私利傾斜。但若覺得社會的結構受到威脅, 人的思想行為又會向集體利益傾斜。 若整個社會偏離平衡, 多數人都會盡一分力扭轉情勢, 於是社會就在令一個方向偏離平衡。有點像鐘擺, 在不同的穩定狀態飛來飛去。 但即使是最簡單的鐘擺, 移動的過程都充滿不確定, 充滿混沌。 社會更是在無數個不同的經濟文化結構, 穿插往還。 每個不同的經濟文化結構, 都會有相應且偉大的宏觀經濟學或社會學理論。

不同的經濟文化結構, 既然可以成型, 必然有一批忠實的支持者, 那怕是公認為惡麼的納粹及法西斯! 這些支持者, 必然會發起保留及教育他們所支持的社會結構, 當然這是把「保育」的字面意義作出過份的推廣。 中環的功利文化也有它忠實的支持者, 各種財經分析的節目主持及書籍作家, 雖沒有用"保育"之名, 但實際上行保育功利文化之事。所以我問 『中環的功利文化為甚麼不要保育?』, 其實是搞錯了! 而那位保育人士, 亦被我誤導, 以為真的沒人作出這樣的保育。

當然, 我的分析很敷淺, 但文化保育, 並不是簡單的非黑即白, 敵我矛盾的事。 我亦衷心希望該保育人士與其他同路人, 不是真的以為功利文化全無價值, 這樣是把世界太簡化了!

題外話, 關於"杞人憂天", 英國有另一位儍瓜提出另一套理論: 天其實老是掉下來, 但天體的橫向速度, 令掉下來時剛好與地球相若, 因而看起來像是繞着地球轉。 該儍瓜的名字是牛頓, 他的理論叫作萬力引力。

Thursday, November 05, 2009

神之一招

幾年前在下於《明報》撰寫了〈圍棋有常勝策略?〉一文(見連結[1],[2]), 談及漫畫《棋魂》中各棋手所追求的神之一招

近日先後見有網友重溫《棋魂》, 又見科大有文章〈象棋有必不敗之法〉討論象棋的神之一招的數學意義, 再加上之前三神問題解說數學這麼過癮, 決定把神之一招的存在證明, 說明一下。

Zermelo 定理 (1928)
一個雙人博奕遊戲符合
  • 條件一: 全局步數有固定上限;

  • 條件二: 玩家清楚對奕雙方的所有可行步法及可行對應,
則先下子者(簡稱先手)或後下子者(簡稱)會有不敗策略。

先談條件一。 過三關(打井)的上限是九步。 圍棋有可能出現永不完之局, 但因為現實比賽都是限時的, 即使比賽是三小時, 且玩家都是一秒鐘一步, 到終局的步數也不會超過3600x3x2=10800。

再談條件二。 二人麻將, 玩家不知對方手牌; 飛行棋, 玩家不知跟着的可行步法, 因這要靠擲骰決定; 這兩者都不符合條件二。 可以說, 符合條件二的, 都是純智力比拼。

那何謂不敗策略呢? 即是機械化的下棋方法, 無論對方怎麼走, 都有一個固定的對應方法, 立於不敗之地。 當然, 若該遊戲沒有和局, 不敗策略就是必勝方略!

哼! 若《棋魂》中的鬼魂佐維真的找到神之一招, 他在世在遇有甚麼趣味, 不如消失好了! 我想這樣子的結局, 肯定比漫畫的結局更傷感。

定理證明

一步棋

假如遊戲是一步完, 即先手一下子就終局。 則要麼先手有一步可以致勝或致和, 要麼他怎麼下也要輸。前者即先手有不敗策略, 後者即後手有不敗策略。

N步棋

現假設對於"上限不過N步的傳奕遊戲", 其中一方有不敗策略。

N+1步棋

考慮"上限不過N+1步的博奕遊戲"。當先手走了一步, 他便成了一個"上限不過N步的傳奕遊戲"的後手, 而根據假設, 他或對手會有不敗策略。

換而言之, 對奕開始時, 要麼先手有一步可以得到一個他有不敗策略的新遊戲, 要麼他怎麼下也會得到一個對手有不敗策略的新遊戲。 前者即先手有不敗策略, 後者即後手有不敗策略。

根據歸納法, 證明畢。

後註
我在明報中稱它為組合遊戲數學(combinatorical game theory)的定理, 而不是科大文章中的博奕理論(game theory), 是因為後者通常談及的不知對方行動的博奕方法, 如猜拳及談判。 雖然如此, 兩者的討論也有很大的重疊空間。

Tuesday, November 03, 2009

眼見為真... (上半正經, 下半兒童不宜)

我們常以為, 可以用意志擊退痛楚。講就容易, 做起來--用腦掃描把痛的感覺見出來--可能也不太難! 這是十月《Nature》的Neuroscience: Shooting pain是這樣說, 領頭科學家是Sean Mackey。

一個簡化的描述, 同時與宗教冥想拉起來的, 是Ricky:

眼見為真這種信心,
是人類最大的恩賜及詛咒。
因為,
眼不是甚麼都看得見。
不講遠,
人體的內部我們就看不見。
看不見的東西我們就不知怎樣去處理,
從這個觀念擴展開去,
在科學方面發明了顯微鏡哈雷望遠鏡X光鐳射顯影,
在宗教及心理層面發明了其他的「看見」,
這種「看見」大多是利用我們與生俱來的想像力,
透過不同改變人體感官的日常操作習慣,
從而「看見」一些肉眼不能看見的「讀數」,
再通過想像力,
將這些「讀數」用腦本來有的成像顯影功能,
轉化成一些有如我們日常用眼看到的具體畫面,
以供我們辨認,
這就是我們常聽聞充滿神秘感的「內視功能」,
包括大部份的宗教體驗、
與生俱來的「陰陽眼」、
神秘的讀心術及一些觀想法門。
一些西藏僧侶甚至就透過熟練的觀想法門,
調節身體各項功能,
達到一些超乎常人的生理現象。
這些一切訓練基礎,
都是集中他們「看」得比一般人多,
這個「看」不經過眼的「外視讀數」,
而是訓練一種透過想象建構的「內視讀數」,
再在腦內的屏幕播放「內視讀數」的「影片」,
因為這根本與接收五官訊息讀數的「輸出顯影」用同一的「解碼器」及同一「屏幕」,
所以只要「內視」功夫好,
畫面一樣與「外視讀數」一樣高清。
所以一些精神病患者因為腦部功能疾病,
或因心理上想逃離外在世界,
而產生腦內功能上的變化,
「外視」「內視」兩台同時重疊或者不斷「轉台」,
從而產生訊息混亂引至精神失控。
不過,
無論正面或負面的「成果」,
都緣自「看多一點點」。
昨晚看紀錄片,
科學家們不習慣信任虛無飄渺的「人體自發的內視功能」,
他們不向內「研發」新功能,
就想到用最新的大腦顯影技術,
供痛症患者實時看見自己大腦的掃描「提示」,
用慣常的外視讀數去讚取以往他不能讀取的訊息,
他看見腦掃描顯示「痛」的「提示」紅點,
在他腦的不同部位出現,
然後訓練他將這個紅點用想像力去變小,
通過這種訓練,
因為看得見,
他漸漸就有把握將瘺症部位的痛楚減弱一半,
與吃止痛藥的效果一樣,
卻沒有吃藥產生的副作用。
這個程序,
其實是將「內視」翻譯為「外視」,
減少了「內視」訓練上的困難及不「實在」,
用一種「常理」去令人接受,
之後,
還是用「想像力」去接棒,
將「看得見」的內部用「心力」縮小。
這次的「殊途同歸」,
好像,
「看見了」科學幫助人進入「對頭人」的靈修點,
第一次「看見」了雙方合作及溝通的可能性。


但這幅詩意的插圖以外, 他還有個惡搞版:(兒童不宜)






































再說得白點, 要看看英國政府商務部的Logo:





















還不夠白, 就要看偽基百科http://zh.uncyclopedia.info/wiki/詞意分道:OGC, 內裡有Logo--最最最兒童不宜: