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Thursday, August 24, 2006

龐加箂之戰:The New Yorker

在前篇《龐加箂之戰》文中,我預告有人已為此撰文。估不到這麼快便出手了, SYLVIA NASAR (The Beautiful Mind 的作者)及 DAVID GRUBER 的

Manifold Destiny

正是為此數學界的大事作了較深入的報導。可惜的是,這個故事的歹角以乎是香港人,唉!

對我前篇不欣賞的人,希望這篇高水平的文章可以滿足他們的要求。戰鬥還未完結,還有一些枝節亦未在文章討論,所以 to be continued...

Monday, August 21, 2006

甚麼是normal?

A:如果獨身的人要收養孩子...
B:沒有國家容許獨身的人收養孩子!
C:因為要保證孩子有個normal family。
A:我可是個normal family專家啊。

要明白這個笑語(或者不太好笑),就要明白normal family的意思。第一個是指『正常的家庭』,後一個是數學上的『正規族』。

normal 這字,用途太廣範。

最原始的解釋,是指『理當如此』,如:A normal mother should love her children (正常的媽媽要受惜自己的兒女);或是指『多數如此』,如:A normal person could not run that fast(一般人不可能跑得這麼快』

然後,在社會學上,變成『與不平均數相距不遠』。這是把『多數如此』給出一個較準確的科學定義。不過,常用平均數有三,分別是眾數mode,均值mean,及中位數medium。若三者相若,則問題不大;但若三者相差頗大,用不同的平均數可能會做成爭議,猶其是用以制定政策時。

有一種統計學上的分佈方式,眾數、均值、中位數皆同,且越遠離平均數,越是罕有。這特殊的分佈稱為正態分佈normal distribution。若一個社會,它的財富是正態分佈,則窮人及富人都較罕有,反而是中產的較多,它的財富分佈會較為平均。所以,normal distribution的normal,是有點『理當如此』的意味。現實中,很少有真正的normal distribution,頂多是接近。所以,normal distribution並不是『多數如此』的distribution。

normal distribution是有很多優美的數學特性的distribution。很多不同的數學物件,都會有一些被稱為normal(中文稱為正規)的,是命名的數學家認為它的特性優美。除前述的normal family外,還有normal subgroup,normal matrix,諸如此類。這些normal的東西,一般非但不是『多數如此』,甚至乎相對罕有。

可以見到,笑話中的兩個normal,某方面的意義是完全相反!

Wednesday, August 16, 2006

龐加箂之戰:粗疏的簡介

小道消息,有一些人已經磨拳擦掌,準備為世上少見的學術界比拼寫成小說。

真的,關於龐加箂猜想的歷史,簡直就是一部武俠小說。

龐加箂猜想,由Henri Poincaré於1904年提出。它的證明,就像一部人人這得到的武林秘笈。

然後,不斷有人嘗試證明。世人一步步接近這部秘笈。

Richard Hamilton提出一個大方向,公認是尋找秘笈的正確路向。

2000年,Clay Mathematics Institute宣佈,得到秘笈者將獲百萬美元奬金。

突然,一個隱士Grigori Perelman平空而出,宣稱已證明了龐加箂猜想。而然,因為他淡薄名利,恃世獨行,決不正式向武林公告,留下了不少問號。他現在已不知所踪(消息終於在今天明報刊登)。

既然留有問號,很多人仍然為這秘笈努力。三路人馬,皆要稱王。三路人馬分別是:曹懷東朱熹平丘成桐支持之下,宣佈正式解決了龐加箂猜想;耶魯大學的Bruce Kleiner與密歇根大學的 John Lott (University of Michigan);還有,南京大學的田剛與哥倫大學的 John Morgan。

田剛與丘成桐的師徒反目,田剛丘成桐事件為這場戰伇增添不少色彩。

還有不小有趣事件,恕未能在此披露。

Wednesday, August 09, 2006

The Joy Of Pi

圓周率,乃,周徑之比,即,圓周除直徑,無盡而不循還之數也。
此數,非兩整數的比,是為無理數。

圓周率,更為超越數,即任一整數多項式,圓周率不會是其零點。
古希臘改圓為方,因此被證明為不可能。

有比賽,看誰,可記得,最多的圓周率數位。
有得勝者,曾經著書立說,解釋:如何強化記憶?

講到用途,圓周率,多樣化:
圓柱球體與橢圓形、機會率、數率、波動函數都要它。

其計算和歷史都有趣,看《神奇的 π 》。