最美麗的方程式

大數學家歐拉（Euler）發現的方程式

e^{i π}+1=0

譽為最美麗的方程式，因為它包含了五個最基本（或最重要）的數學單元：歐拉數ｅ，虛單位ｉ，圓周率 π，1 和 0。

注意：黃金比例φ並不包括在內，事實上黃金比例在純數學中的應用相對有限。

歐拉數的命名，是要表彰歐拉對這個特別數字的研究。歐拉數以ｅ代表，也是由歐拉開始（但以乎並非蓄意利用自己名字的首字母）。ｅ在數學的地位，與它在坊間數學小品的罕見，似乎不成比例；一般人要在高等數學才開始接觸ｅ，可能是一個原因，但其實ｅ與香港人的生活息息相關。

當本金為1，年息為1，逐年計算，一年後本利和是 (1+1)¹=2；
逐月計算，一年後本利和是(1+1/12)¹²=2.613；
逐日計算，一年後本利和是(1+1/365)³⁶⁵=2.714；
逐秒計算，一年後本利和是(1+1/525600)⁵²⁵⁶⁰⁰=2.71828278721；
如是都，把計算的時距不斷縮窄，極限的本利和就是ｅ=2.7182818...

當本金為Ａ，年息為ｒ，一年後的極限本利和就是 A e^r。可以想像到，所有的金融生工具都與ｅ有關！

直至高中，課本都說所有數字的平方都是正數；所以只有『子虛烏有的數』，即虛數（imaginary number）才可能是 -1 的平方根，記作 ｉ。古代的數學家不想面對這樣的數，但它不斷在數學中出現，逃避不了；直至把 ｉ 等同平面上 (0,1) 這一點，數學家終於擺脫迷思，得出一個二維的數字系統。

可以見到，這是一個革命性的新數字系統，有很多在一維數線上不可能的特性　－　例如正弦（sine）竟然可超過 1！虛數的應用更加進入了物理學，但不時以ｊ代替ｉ，以免與電流符號混淆。

圓周率 π 是圓形的周長與真徑之比，其用途及重要性不用多說。由最古老的『周三徑一』（即 φ=3）到現代準確度達百萬位的計算，關於 π 的故事幾可平行於人類歷史！令人迷惑的是，古人憑甚麼斷定圓周是 2 π r 及圓面積是 π r²？

計算π有很多方法，其中一個有趣的方法是

π/2 = (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)(8/7)(8/9)...

理論上可以由此把π計出來，但要很久很久很久．．．（打呵欠）。

1 當然重要，它是我們第一個學習的數字呀！其實 1 應該是最常用的數字罷。究竟「一」的概念是否在天生的，亦存在爭議。當然在哲學層面１也是重要的，有所謂『萬法歸一』嘛！

0 的重要性，亦不用多說。但 0 是甚麼，卻不好解釋。自 0 作為位置符號（例：用以區分17或107）面世，以至被接受成數字，它的歷史充滿着哲學和實用的比拼　－　畢竟把「零」、「無」、「道」、「空」四個概念混淆仍大有人在。

最後，如果閣下是在找尋『最美麗容貎的方程式』，這篇文章標題可能誤導了你，請容筆者說句「對不起」。