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Sunday, February 26, 2006

最美麗的方程式

大數學家歐拉(Euler)發現的方程式

ei π+1=0


譽為最美麗的方程式,因為它包含了五個最基本(或最重要)的數學單元:歐拉數e虛單位i圓周率 π,1 和 0。

注意:黃金比例φ並不包括在內,事實上黃金比例在純數學中的應用相對有限。

歐拉數的命名,是要表彰歐拉對這個特別數字的研究。歐拉數以e代表,也是由歐拉開始(但以乎並非蓄意利用自己名字的首字母)。e在數學的地位,與它在坊間數學小品的罕見,似乎不成比例;一般人要在高等數學才開始接觸e,可能是一個原因,但其實e與香港人的生活息息相關。

當本金為1,年息為1,逐年計算,一年後本利和是 (1+1)1=2;
逐月計算,一年後本利和是(1+1/12)12=2.613;
逐日計算,一年後本利和是(1+1/365)365=2.714;
逐秒計算,一年後本利和是(1+1/525600)525600=2.71828278721;
如是都,把計算的時距不斷縮窄,極限的本利和就是e=2.7182818...

當本金為A,年息為r,一年後的極限本利和就是 A er。可以想像到,所有的金融生工具都與e有關!

直至高中,課本都說所有數字的平方都是正數;所以只有『子虛烏有的數』,即虛數(imaginary number)才可能是 -1 的平方根,記作 i。古代的數學家不想面對這樣的數,但它不斷在數學中出現,逃避不了;直至把 i 等同平面上 (0,1) 這一點,數學家終於擺脫迷思,得出一個二維的數字系統。

可以見到,這是一個革命性的新數字系統,有很多在一維數線上不可能的特性 - 例如正弦(sine)竟然可超過 1!虛數的應用更加進入了物理學,但不時以j代替i,以免與電流符號混淆。

圓周率 π 是圓形的周長與真徑之比,其用途及重要性不用多說。由最古老的『周三徑一』(即 φ=3)到現代準確度達百萬位的計算,關於 π 的故事幾可平行於人類歷史!令人迷惑的是,古人憑甚麼斷定圓周是 2 π r 及圓面積是 π r2

計算π有很多方法,其中一個有趣的方法是

π/2 = (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)(8/7)(8/9)...


理論上可以由此把π計出來,但要很久很久很久...(打呵欠)。

1 當然重要,它是我們第一個學習的數字呀!其實 1 應該是最常用的數字罷。究竟「一」的概念是否在天生的,亦存在爭議。當然在哲學層面1也是重要的,有所謂『萬法歸一』嘛!

0 的重要性,亦不用多說。但 0 是甚麼,卻不好解釋。自 0 作為位置符號(例:用以區分17或107)面世,以至被接受成數字,它的歷史充滿着哲學和實用的比拼 - 畢竟把「零」、「無」、「道」、「空」四個概念混淆仍大有人在。

最後,如果閣下是在找尋『最美麗容貎的方程式』,這篇文章標題可能誤導了你,請容筆者說句「對不起」。

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