新藍

Scientists Discover a Perfect Blue Pigment—Entirely by Accident

誤打誤撞, 得到新一種藍色顏料, 據稱無毒耐熱, 比現時代用勝一酬!

(我的blog有個"色"字, 當然要講"色"啦!)

珊瑚啃水母(好可怕啊!)

圖片來源: National Geographic

少數決

著名漫畫《LIAR GAME》, 內容是一位誠實善良的少女, 被捲入不同回合需要欺詐取勝的博奕遊戲, 幸得一位天才少年的幫助。 可否從數學角度分析內裡的博奕遊戲? 答案是可以又不可以。

以第二回合的少數決Minority Rule為例。 最早相關研究是1994年W. Brian Arthur的El Farol Bar problem, 但現在這類博奕遊戲歸類為少數者博奕Minority Game, 是由Yi-Cheng Zhang 及 Damien Challet提出的:

有兩種或以上的項目, 由玩家進行投票, 而勝利者是那些把票投向得票最少項目的。

舉例來說, 有項目A及B, 由十位玩家投票, 若六位投A而四位投B, 則投票于B者勝。

這是一個非常"公平"的遊戲, 因為要操縱結果使自已獲勝, 就要使大量的玩家投向與自已相異的項目, 所失必大于所得。

若這是個重複的遊戲, (不像漫畫內人數不斷減少), 便會有「納什均衡」: 即每位玩家各自有一套隨機投票的策略, 而獨自改變規則不會有更多的利益。 簡單的說, 若敵不動而我先動, 我不會有甜頭, 所以還是按原先的隨機投票行事。 就例子來說, 每一個人都50%投A及50%投B, 就是納什均衡。

但如果容許結盟呢? 因為不可能操縱結果, 頂多是設計到每局打和。 這也是漫畫中主角開始時的策略。

真的沒有更好的策略嗎? 真的不可以操縱結果嗎? 漫畫中有個奸角, 不是憑着同時加入所有結盟, 幾乎達到勝利! 如果他是老老實實的結盟, 勝利的結果是所有人平分所得; 但他一開始欺騙, 最後便因欺騙而敗, 這才是漫畫內的信息。 這些與遊戲設計無關的欺騙手段, 就不是數學分析得了。

少數者博奕有沒有現實例子呢?

最簡單的, 就是在幾條差不多路程的行車線中選擇。最少駕駛者選擇的, 當然行車最快。

另外, 有一種"唯一最低價"的拍賣方式。 即每次拍賣, 由只得一人出的價中, 揀出最低的拍賣價。 例如3人出價2元, 1人出價3元, 4人出價4元, 1人出價5元, 則只得一人出的價是3元及5元, 當中最低的是3元, 於是出價3元的人勝出。"唯一最低價"有着極濃厚的賭博性質, 如此方法經營可能與香港法律相違, 例如今年三月就曾出現新聞(見[1])。

利用少數者博奕原理, 是可以有新一種網上營銷書籍或音樂的手法。 本人和一些朋友曾考慮過, 但卻因可能觸犯賭博條例而打退堂鼓。 不過, 我亦向一些有生意經驗的朋友查詢, 不過他們老是說小心版權條例, 完全抓不着重點, 真氣人!

摺紙戰士, 數之秘技

漫畫《摺紙戰士》是台灣人周顯宗出品, 但與日本的眾多精靈對戰漫畫都是同一個模子出來, 可謂乏善足陳:

宇宙分為人界與精靈界。 一個人用紙摺出的東西, 可以用棈靈的力量變成道具, 例如武器。 黑暗勢力要利用這神奇的摺紙統治世界, 而正義的摺紙戰士奮力對抗。

電視版在2005年已經拍完。 但翌年12月, Roger C. Alperin 及 Robert J. Lang 證明了存在一個只屬於數學領域的超現實摺紙世界!

摺紙, 這裡只用一張正方紙來摺, 過程不許剪開, 英文稱為(pure) origami。是的, 又是日本人把中國的傳統技藝發揚光大。更要緊的是, 日本數學家及摺紙家藤田文章(1924-2005)及羽鳥 公士郎成功提出一套『摺紙數學』系統! 摺紙數學與電腦的出現, 使得超級複雜的摺紙造型得以出現。

這套摺紙數學系統, 包括七條"摺紙公理":

O1：給定兩點 P1 與 P2，存在唯一摺線通過此兩點。

O2：給定兩點 P1 與 P2，存在唯一的摺線把 P1 摺到 P2 上。

O3：給定兩線 l1 與 l2，存在唯一的摺線把 l1 摺到 l2 上。

O4：給定點 P1 與線 l1，存在唯一的摺線垂直於 l1 並通過 P1。

O5：給定兩點 P1 與 P2 以及線 l1，存在摺線把 P1 摺到 l1 上並通過P2

O6：給定兩點 P1 與 P2 以及兩線 l1 與 l2，存在摺線把 P1 摺到 l1 上並把 P2 摺到 l2 上。

O7：給定點 P 與兩線 l1 與 l2，存在垂直於 l2 的摺線且把 P 摺到 l1 上。

可不可以把這系統再增大呢? Robert J. Lang 證明了這系統已經是完備, 即所有現實可摺的方法, 都已包含在這系統內。

理論上, 摺紙可以解決所有二維方程的解, 即可以(接近)摺出圓形、橢圓、拋物線等, 卻只可以解決一部分三維方程的解。 Robert J. Lang 及 Roger C. Alperin提出, 為可限制在平常的摺紙法? 雖然在現實裡, 因為一張紙不能穿過自身, 所以不可能同時摺二下, 三下, 四下.... 但在數學上, 沒甚麼不可能的理由。他倆在2006年的One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms證實了, 超現實的摺紙法可以無限的接近任何曲線。

是的, 在《摺紙戰士》電視版有很多古怪的造型, 但卻是精靈的力量變出來, 不是摺出來。若周顯宗知道數學有超現實摺紙, 他可會有較創新的念頭? 或者不再需要精靈?

順帶一提, Robert J. Lang是一位工程學家兼職業摺紙藝術家。 真的, 他有靠摺紙賺錢的。 能夠遊走於數學與藝術之間, 甚至把兩者結合, 絕對是區區的一位偶象!

鬆毛鬆翼, 曉唱歌嘞!

Singing Wings from Carl Zimmer on Vimeo.

用對翼發聲吸引異性的雀公!

中環的功利文化為甚麼不要保育? * 檢視 * 編輯 * 追蹤

戰國時, 有一個杞國, 杞國裡有一個人, 忽地心血來潮, 擔心:『天會不會掉下來?』
好一個白痴問題, 天怎麼會掉下來! 從此, "杞人憂天"變成形容瞎擔心的成語。

幾天前, 忽地心血來潮, 想到一個杞人憂天式的問題: 『中環的功利文化為甚麼不要保育?』

有位保育人士的答案是: 『如果閣下覺得中環的功利文化好鬼有價值，咁咪去保育下佢囉。點解無人保育功利文化？你去咪有人囉。』 估不到, 笑人白痴, 可以如此婉轉!

可惜的是, 他的答案不太完備, 亦不甚準確, 而且解答不了我的問題。 不過我也有責任, 因為我的問法誤導了他。

在自覺生活水準下滑到不可接受時, 人的思想行為不其然向自身私利傾斜。但若覺得社會的結構受到威脅, 人的思想行為又會向集體利益傾斜。 若整個社會偏離平衡, 多數人都會盡一分力扭轉情勢, 於是社會就在令一個方向偏離平衡。有點像鐘擺, 在不同的穩定狀態飛來飛去。 但即使是最簡單的鐘擺, 移動的過程都充滿不確定, 充滿混沌。 社會更是在無數個不同的經濟文化結構, 穿插往還。 每個不同的經濟文化結構, 都會有相應且偉大的宏觀經濟學或社會學理論。

不同的經濟文化結構, 既然可以成型, 必然有一批忠實的支持者, 那怕是公認為惡麼的納粹及法西斯! 這些支持者, 必然會發起保留及教育他們所支持的社會結構, 當然這是把「保育」的字面意義作出過份的推廣。 中環的功利文化也有它忠實的支持者, 各種財經分析的節目主持及書籍作家, 雖沒有用"保育"之名, 但實際上行保育功利文化之事。所以我問 『中環的功利文化為甚麼不要保育?』, 其實是搞錯了! 而那位保育人士, 亦被我誤導, 以為真的沒人作出這樣的保育。

當然, 我的分析很敷淺, 但文化保育, 並不是簡單的非黑即白, 敵我矛盾的事。 我亦衷心希望該保育人士與其他同路人, 不是真的以為功利文化全無價值, 這樣是把世界太簡化了!

題外話, 關於"杞人憂天", 英國有另一位儍瓜提出另一套理論: 天其實老是掉下來, 但天體的橫向速度, 令掉下來時剛好與地球相若, 因而看起來像是繞着地球轉。 該儍瓜的名字是牛頓, 他的理論叫作萬力引力。

神之一招

幾年前在下於《明報》撰寫了〈圍棋有常勝策略?〉一文(見連結[1],[2]), 談及漫畫《棋魂》中各棋手所追求的神之一招。

近日先後見有網友重溫《棋魂》, 又見科大有文章〈象棋有必不敗之法〉討論象棋的神之一招的數學意義, 再加上之前三神問題解說數學這麼過癮, 決定把神之一招的存在證明, 說明一下。

Zermelo 定理 (1928)
一個雙人博奕遊戲符合

• 條件一: 全局步數有固定上限;


• 條件二: 玩家清楚對奕雙方的所有可行步法及可行對應,
  

則先下子者(簡稱先手)或後下子者(簡稱)會有不敗策略。

先談條件一。 過三關(打井)的上限是九步。 圍棋有可能出現永不完之局, 但因為現實比賽都是限時的, 即使比賽是三小時, 且玩家都是一秒鐘一步, 到終局的步數也不會超過3600x3x2=10800。

再談條件二。 二人麻將, 玩家不知對方手牌; 飛行棋, 玩家不知跟着的可行步法, 因這要靠擲骰決定; 這兩者都不符合條件二。 可以說, 符合條件二的, 都是純智力比拼。

那何謂不敗策略呢? 即是機械化的下棋方法, 無論對方怎麼走, 都有一個固定的對應方法, 立於不敗之地。 當然, 若該遊戲沒有和局, 不敗策略就是必勝方略!

哼! 若《棋魂》中的鬼魂佐維真的找到神之一招, 他在世在遇有甚麼趣味, 不如消失好了! 我想這樣子的結局, 肯定比漫畫的結局更傷感。

定理證明

一步棋

假如遊戲是一步完, 即先手一下子就終局。 則要麼先手有一步可以致勝或致和, 要麼他怎麼下也要輸。前者即先手有不敗策略, 後者即後手有不敗策略。

N步棋

現假設對於"上限不過N步的傳奕遊戲", 其中一方有不敗策略。

N+1步棋

考慮"上限不過N+1步的博奕遊戲"。當先手走了一步, 他便成了一個"上限不過N步的傳奕遊戲"的後手, 而根據假設, 他或對手會有不敗策略。

換而言之, 對奕開始時, 要麼先手有一步可以得到一個他有不敗策略的新遊戲, 要麼他怎麼下也會得到一個對手有不敗策略的新遊戲。 前者即先手有不敗策略, 後者即後手有不敗策略。

根據歸納法, 證明畢。

後註
我在明報中稱它為組合遊戲數學(combinatorical game theory)的定理, 而不是科大文章中的博奕理論(game theory), 是因為後者通常談及的不知對方行動的博奕方法, 如猜拳及談判。 雖然如此, 兩者的討論也有很大的重疊空間。

眼見為真... (上半正經, 下半兒童不宜)

我們常以為, 可以用意志擊退痛楚。講就容易, 做起來--用腦掃描把痛的感覺見出來--可能也不太難! 這是十月《Nature》的Neuroscience: Shooting pain是這樣說, 領頭科學家是Sean Mackey。

一個簡化的描述, 同時與宗教冥想拉起來的, 是Ricky:

眼見為真這種信心，
是人類最大的恩賜及詛咒。
因為，
眼不是甚麼都看得見。
不講遠，
人體的內部我們就看不見。
看不見的東西我們就不知怎樣去處理，
從這個觀念擴展開去，
在科學方面發明了顯微鏡哈雷望遠鏡X光鐳射顯影，
在宗教及心理層面發明了其他的「看見」，
這種「看見」大多是利用我們與生俱來的想像力，
透過不同改變人體感官的日常操作習慣，
從而「看見」一些肉眼不能看見的「讀數」，
再通過想像力，
將這些「讀數」用腦本來有的成像顯影功能，
轉化成一些有如我們日常用眼看到的具體畫面，
以供我們辨認，
這就是我們常聽聞充滿神秘感的「內視功能」，
包括大部份的宗教體驗、
與生俱來的「陰陽眼」、
神秘的讀心術及一些觀想法門。
一些西藏僧侶甚至就透過熟練的觀想法門，
調節身體各項功能，
達到一些超乎常人的生理現象。
這些一切訓練基礎，
都是集中他們「看」得比一般人多，
這個「看」不經過眼的「外視讀數」，
而是訓練一種透過想象建構的「內視讀數」，
再在腦內的屏幕播放「內視讀數」的「影片」，
因為這根本與接收五官訊息讀數的「輸出顯影」用同一的「解碼器」及同一「屏幕」，
所以只要「內視」功夫好，
畫面一樣與「外視讀數」一樣高清。
所以一些精神病患者因為腦部功能疾病，
或因心理上想逃離外在世界，
而產生腦內功能上的變化，
「外視」「內視」兩台同時重疊或者不斷「轉台」，
從而產生訊息混亂引至精神失控。
不過，
無論正面或負面的「成果」，
都緣自「看多一點點」。
昨晚看紀錄片，
科學家們不習慣信任虛無飄渺的「人體自發的內視功能」，
他們不向內「研發」新功能，
就想到用最新的大腦顯影技術，
供痛症患者實時看見自己大腦的掃描「提示」，
用慣常的外視讀數去讚取以往他不能讀取的訊息，
他看見腦掃描顯示「痛」的「提示」紅點，
在他腦的不同部位出現，
然後訓練他將這個紅點用想像力去變小，
通過這種訓練，
因為看得見，
他漸漸就有把握將瘺症部位的痛楚減弱一半，
與吃止痛藥的效果一樣，
卻沒有吃藥產生的副作用。
這個程序，
其實是將「內視」翻譯為「外視」，
減少了「內視」訓練上的困難及不「實在」，
用一種「常理」去令人接受，
之後，
還是用「想像力」去接棒，
將「看得見」的內部用「心力」縮小。
這次的「殊途同歸」，
好像，
「看見了」科學幫助人進入「對頭人」的靈修點，
第一次「看見」了雙方合作及溝通的可能性。

但這幅詩意的插圖以外, 他還有個惡搞版:(兒童不宜)






































再說得白點, 要看看英國政府商務部的Logo:





















還不夠白, 就要看偽基百科的http://zh.uncyclopedia.info/wiki/詞意分道:OGC, 內裡有Logo--最最最兒童不宜: