為何3×2=2×3? (再續)

如果有兩種不同定義的運算, 給發現如來得出相同結果, 數學家就會把兩者看作一樣.

換句話說, 假設一開始時數學家定義了兩種乘法:

m x n = m+...+m (n 個)
m * n = n+...+n (m 個)

接着數學家知道了 mxn=m*n,  他們就會毫不猶疑也接受 m x n =  n+...+n (m 個)

換句說話,  除了開頭不知兩者相等的情況, 其他時候數學家會隨便使用兩個定義.

唯一例外情況,  是出習作時, 會故意強迫學生使用其中一個定義,  以強化他們的邏輯思維.

例如: 從(課本上的)定義出發, 證明2 × 3 =  3 + 3.

正確答案: 從定義出發, 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 而 3+3=6, 所以2 × 3 =  3 + 3.

這裡, 我們不能直接寫 2 × 3 = 6, 而一定要寫 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 皆因我們要從定義出發.

能力稍遜的學生, 通常不喜歡這類題目, 因為由定義出發, 通常較煩且少了很多可用的工具.

在數學發展史上, 若有兩個看似不同的概念, 給證明了是同一回事, 必定是一件大新聞. 因為本來的兩個概念, 都各自有不同的思考方法及數學工具. 兩者結合, 就多了很多思考方法及工具可用, 會造成數學的一次大躍進.

為何3×2=2×3? (續)

朋友在談論3×2=2×3時，指出小學老師提及
2 × 3 = 2 + 2 + 2
3 × 2 = 3 + 3
兩者雖然相等, 但概念不同.

這個可以帶出很多話題, 不過我想最多人注意的是:

如果有個小學生寫2 × 3 =  3 + 3算唔算錯?

注意, 我強調小學生. 因為過了小學, 再沒有人理會這件事.

我的答案是: 不清楚. 

原因是"="本身有不同的意思.

"A=3" 的第一個意思是"把A的數值設為3", 第二個意思是"經過計算, 發現A的數值是3".

"f(x)=x+4" 的第一個意思是"把f(x)定義為x+4", 第二個意思是"經過計算, 發現f(x)的值是x+4".

有些人為了分開兩種意思, 故意用不同的符號. 例如用":="代表定義, "="是原本第二個的意思.

換句話說, 如果教科書上寫"m × n:=m+m+...m (n 個 m)", 則"2 × 3 :=  3 + 3"是錯, 而"2 × 3 =  3 + 3"是對的.

不過, 小學課本基本上沒有區分"="的兩個意思, 所以嘛......

為何3×2=2×3?

近日, 有朋友在網上談及"為何3×2=2×3?"  令我想起一個舊笑話:

老師: 為何3×2=2×3?
學生: 因為都是6.
老師: 錯!
學生: 因為乘法符合交換律.
老師: 對了!

當然, 學生第一個答案沒錯, 第二個答案反而不自然.  就讓我來說一說.

先來一個日常生活的例子

甲是乙的生母的定義是甲是把乙生下來的女人.

請看如下兩句:

1. 因為沈殿霞生下了鄭欣宜, 所以沈殿霞是鄭欣宜的生母.
2. 因為沈殿霞是鄭欣宜的生母, 所以沈殿霞生下了鄭欣宜.

兩句邏輯上都對, 但第二句卻有些彆扭.

讓我們入數學正題

×符合交換律的定義是對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.

請看如下兩句:

1. 因為對所有數字a及b, 都有a×b=b×a, 所以乘法符合交換律.
2. 因為乘法符合交換律, 所以對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.

同理, 兩句邏輯上都對, 但第二句還是有些不自然.

好了, 讓我們看看

問: 為何2×3=3×2? 
答: 因為乘法符合交換律, 所以2×3=3×2.

邏輯正確, 但明明2×3=3×2是交換律的其中一個條件, 這樣寫法有點倒果為因.

問: 為何2×3=3×2? 
答: 因為2×3=6及3×2=6, 所以2×3=3×2.

清楚, 明白, 簡單, 直接, 自然!

那麼, 何時才用交換律呢? 就在不要嘗試計算乘積的時候!

問: 為何x²y=yx²? 
答: 因為乘法符合交換律, 所以x²y=yx².

我們x,y可以是任何數, 我們沒法驗證所有情況, 所以用到交換律.

問: 為何1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883? 
答: 因為乘法符合交換律, 所以1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883.

我這個覺得可以接受, 因為我不願意花時間把乘積計算出來.