為何3×2=2×3?

近日, 有朋友在網上談及"為何3×2=2×3?"  令我想起一個舊笑話:

老師: 為何3×2=2×3?
學生: 因為都是6.
老師: 錯!
學生: 因為乘法符合交換律.
老師: 對了!

當然, 學生第一個答案沒錯, 第二個答案反而不自然.  就讓我來說一說.

先來一個日常生活的例子

甲是乙的生母的定義是甲是把乙生下來的女人.

請看如下兩句:

1. 因為沈殿霞生下了鄭欣宜, 所以沈殿霞是鄭欣宜的生母.
2. 因為沈殿霞是鄭欣宜的生母, 所以沈殿霞生下了鄭欣宜.

兩句邏輯上都對, 但第二句卻有些彆扭.

讓我們入數學正題

×符合交換律的定義是對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.

請看如下兩句:

1. 因為對所有數字a及b, 都有a×b=b×a, 所以乘法符合交換律.
2. 因為乘法符合交換律, 所以對所有數字a及b, 都有a×b=b×a.

同理, 兩句邏輯上都對, 但第二句還是有些不自然.

好了, 讓我們看看

問: 為何2×3=3×2? 
答: 因為乘法符合交換律, 所以2×3=3×2.

邏輯正確, 但明明2×3=3×2是交換律的其中一個條件, 這樣寫法有點倒果為因.

問: 為何2×3=3×2? 
答: 因為2×3=6及3×2=6, 所以2×3=3×2.

清楚, 明白, 簡單, 直接, 自然!

那麼, 何時才用交換律呢? 就在不要嘗試計算乘積的時候!

問: 為何x²y=yx²? 
答: 因為乘法符合交換律, 所以x²y=yx².

我們x,y可以是任何數, 我們沒法驗證所有情況, 所以用到交換律.

問: 為何1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883? 
答: 因為乘法符合交換律, 所以1532657883×89234927498274=89234927498274×1532657883.

我這個覺得可以接受, 因為我不願意花時間把乘積計算出來.