為何3×2=2×3? (再續)

如果有兩種不同定義的運算, 給發現如來得出相同結果, 數學家就會把兩者看作一樣.

換句話說, 假設一開始時數學家定義了兩種乘法:

m x n = m+...+m (n 個)
m * n = n+...+n (m 個)

接着數學家知道了 mxn=m*n,  他們就會毫不猶疑也接受 m x n =  n+...+n (m 個)

換句說話,  除了開頭不知兩者相等的情況, 其他時候數學家會隨便使用兩個定義.

唯一例外情況,  是出習作時, 會故意強迫學生使用其中一個定義,  以強化他們的邏輯思維.

例如: 從(課本上的)定義出發, 證明2 × 3 =  3 + 3.

正確答案: 從定義出發, 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 而 3+3=6, 所以2 × 3 =  3 + 3.

這裡, 我們不能直接寫 2 × 3 = 6, 而一定要寫 2 × 3 = 2 + 2 + 2=6, 皆因我們要從定義出發.

能力稍遜的學生, 通常不喜歡這類題目, 因為由定義出發, 通常較煩且少了很多可用的工具.

在數學發展史上, 若有兩個看似不同的概念, 給證明了是同一回事, 必定是一件大新聞. 因為本來的兩個概念, 都各自有不同的思考方法及數學工具. 兩者結合, 就多了很多思考方法及工具可用, 會造成數學的一次大躍進.