超越現實的數

不懂數學的人， 可能也會接受無限大及無窮小；反而對數學家，接受無限大及無窮小會有邏輯上的問題。

當Abraham Robinson成功創造出包含無限大和無窮小，且邏輯上可行的數字系統，在數學界產生頗大迴響。這系統是 hyperreal numbers。最簡單的解釋，系統內每個數其實是個數列－－7 是 (7,7,7,...) 而 -8 是 (-8,-8,...,-8)；無限大是不斷增大的數列，如 (1,2,3,4,...) 及 (1,3,5,7,...) 便是兩個無限大；無窮小是愈來愈接近０的數列，如 (1,1/2,1/3,1/4,...) 及 (1,0.1,0.01,0.001,...)便是兩個無窮小。當然還有其他理論上的限制。

稍後， John Horton Conway發明了另一套數字系統，也包含無限大和無窮小，產生的不是迴響，而是震撼！這系統是 surreal numbers。Conway 運用了載得金分割（Dedekind cuts）的意念，成功的把現代數學中多個不同的範疇（實數，序數，組合理論）連繫起來。很難三言兩語說明 Conway 的理論解釋，但可以說的是，他證明了『數字是個遊戲』！事實上，Conway 發展這理論真的是要研究一種遊戲－－我國的國技『圍棋』！！！

可能是遺撼，兩者的中文名稱都是超實數。還有另一個超實數 superreal numbers，是 hyperreal numbers 的再擴張。

某程度來說，日常生活中或許不會遇到這些數，超實數可謂名副其實；但從數學上而言，超實數與實數同樣真實。