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Thursday, April 20, 2006

超越現實的數

不懂數學的人, 可能也會接受無限大無窮小;反而對數學家,接受無限大及無窮小會有邏輯上的問題。

Abraham Robinson成功創造出包含無限大和無窮小,且邏輯上可行的數字系統,在數學界產生頗大迴響。這系統是 hyperreal numbers。最簡單的解釋,系統內每個數其實是個數列--7 是 (7,7,7,...) 而 -8 是 (-8,-8,...,-8);無限大是不斷增大的數列,如 (1,2,3,4,...) 及 (1,3,5,7,...) 便是兩個無限大;無窮小是愈來愈接近0的數列,如 (1,1/2,1/3,1/4,...) 及 (1,0.1,0.01,0.001,...)便是兩個無窮小。當然還有其他理論上的限制。

稍後, John Horton Conway發明了另一套數字系統,也包含無限大和無窮小,產生的不是迴響,而是震撼!這系統是 surreal numbers。Conway 運用了載得金分割(Dedekind cuts)的意念,成功的把現代數學中多個不同的範疇(實數序數組合理論)連繫起來。很難三言兩語說明 Conway 的理論解釋,但可以說的是,他證明了『數字是個遊戲』!事實上,Conway 發展這理論真的是要研究一種遊戲--我國的國技『圍棋』!!!

可能是遺撼,兩者的中文名稱都是超實數。還有另一個超實數 superreal numbers,是 hyperreal numbers 的再擴張。

某程度來說,日常生活中或許不會遇到這些數,超實數可謂名副其實;但從數學上而言,超實數與實數同樣真實。

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