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Friday, April 21, 2006

數字是個遊戲

『數字是個遊戲。』誰人會說這樣的話?

一個見慣風浪,歷盡起跌的股壇老手?

一個不負責任,專個假賬的會計敗類?

一個腰纏萬貫,勝負等閒的商界巨賈?

一個強作瀟洒,生活平實的過氣富翁?

一個活動教學,負責數學的小學老師?

若通通不是,可能這人是個研究組合遊戲理論的數學家。

組合遊戲理論是研究純技術的博奕遊戲,例如圍棋、象棋、拿火柴遊戲。麻將、飛行棋、天九等不在其研究範圍;橋牌、鋤大弟、十三張等也不在其研究範圍--因要猜對方手中的牌,也有運氣成分。數學家主要是研究二人博奕。

Ernst Zermelo (1871-1953) 率先證明所有二人博奕都應是早知結果的!要麼是先行者有必勝(應是不敗)策略,要麼是後行者有必勝方法,這當然視乎是何類遊戲。(見〔1〕

約翰.康威(John H. Conway)提出了個有趣的定義:一個 (L|R) 是個遊戲如果 L 及 R 也是個遊戲--這定義可用於尋找必勝策略。他與兩位重量級人物在著作《穩操勝券(上下冊)》(Winning Ways for your Mathematical Plays)有講述這定義的應用,這本書在一般書局有售。

若然限制 L < R(何謂大小,這不贅),就是超實數 surreal numbers,一種包含無限大及無窮小的數字系統!這個慨念是建基於Dedekind cuts,本來用於透過分數定義實數

所以,『數字是個遊戲。』可是有真正數學意義的啊!

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