晨早追月去；

月在樹上休；

疑有太陽伴？　原來是街燈！

來個『個人照』；

一個小時後消失！

Auburn vs Tennessee

看到排球嗎？

少不了啦啦隊！

問答題 （扎鐵工潮隨想） --- from inmediahk.net

何謂市場，經濟，政治？

答：專門定義不談，但這三者就如基督教的聖父、聖子、聖神般，是三位一體的，阿門。

何謂『政治化』？

答：『有反對派人士參與』。愈多反對派人士，就代表愈政治化。有無更深層意思？冇！

何謂『市場失效』？

答：即是市場現實與理想有距離。

何謂『政府干預市場』？

答：即係政府大石砸死蟹，對市場指三道四。

政府參與談判，是否干預市場？

答：若只是中介人，當然不算。否則我們納稅幹什麼？勞工處長收人工幹什麼？

工潮出現，是市場機制失效嗎？

答：市場機制，沒有所謂失效與否。可以說，工潮就是市場機制的一部分。當工人感到得不到應得的待遇，就會有相應的行動。

為甚麼商人要剝削工人，最終導致罷工？

答：未必是剝削，可能是現有薪水可以請到人，何必加薪？有或是商會這樣定價，何必壞行規？人有僥倖之心，一日看不到問題，一日都唔會諗點改善。

為甚麼政府不應干預市場？

答：以政府有限的資源，如何估計市場無盡的變化？公司估計市場錯誤，頂多是倒閉；但政府估錯，後患無窮。就扎鐵市場為例，連有第一手資料的扎鐵商也看不到工潮會發生，政府有憑藉甚麼估計到市場的變化？

那麼政府要完全不干預嗎？

答：又不是，因為有些經濟活動，私人之力無法辦到。要干預力度剛剛好，要有一個真正能幹的政府可行！（可惜香港政府不是：ｐ）

是否工會強的地方，經濟比不上工會弱的？

答：工會太強，過分強調工人利益，確會窒礙商業環境；但工會太弱，如扎鐵工會般，工人不滿就不能有效反影，同樣相害經濟。最理想的，是工會就如一條睡龍，商人為了不弄醒它，不會對工人太過分。

有沒有比工會更好的方法？

答：不知道，但阿丙的合作社可能是一個辦法。

溫哥華的雹

和家人玩MSN，得知溫哥華落雹了，白茫茫一片，差點以為是落雪！

（噢，左下角的『恐怖份子』是我，不要給那影象嚇唬了　：ｐ）

松鼠，你在幹什麼？

 

 

雷雨

雷聲，雨聲，鋼琴聲，聲聲入耳；今日，明日，星期日，日日開心！

結網

原圖

我想不用說明罷！

月上柳梢頭，人約日出後？

球場

Auburn University 有一個國際級美式足球場（相片左邊），籃球場（相片右邊），和一個棒球場（相片後方）。也有一個奧林匹克標準泳池，在我背着的方向，但只是它旁邊的練習池對非運動員開放，唉！：（　聽說有個新的露天泳池在興建中，這與我無關啦！）　唔，還有幾個運動中心，略過不提。

Football Day (Updated)

除了我的來臨之外，Football Day 是Auburn University最重要的事件。

這是兩天前預備好的帳篷：





停車場泊滿了車，草坪上人頭湧湧，都是來看夜晚球賽。為什麼這麼早出現？找不到車位，要走老遠怎麼辦？看看，他們在野餐，甚至在較好衞星電視，等待着興奮的一夜：





黃昏七時，球賽已經開始，看看車子到處亂泊，沒進場的人（職員？）在看電視轉播，看看球場燈火通明，傳來陣陣吶喊聲：







看啊，晚上十時半，球賽結束，一條長長的人龍：




（不要給相片日期誤導，那是香港時間！）

圖書館開放日

星期六是Auburn University 的大日子，football day是也！每年這日之前，都有圖書館開放日。沒啥特別，但有免費熱狗，爆谷及汽水，還有一些小贈品。

（香港的圖書館幾何有免費東西吃？噢！）

之後是勞動節(九月一日)補假。長假期前，買了架車，但想不到去那裡．．．．

夏天的聲音

此起彼落的蟬鳴，夾雜着冷氣機的噪音，與及學生宿舍傳來的音樂。

蟲花交？？

好久沒寫關於『色』，現在有篇新鮮滾辣的。

請看以下的四幅圖：




四種蘭花很不同，是嗎？但你如果視力有些問題，顏色看不清楚，找老婆有些心急，就會覺得它們一模一樣。

有種黃蜂公，就是這樣走去同這些花交配。蟲花交的結果是有後代，但只是花的後代－蟲蟲幫忙授粉了啊－不過黃蜂公仍是可憐的光棍一名．．．



以上圖片及文章來源：http://www.bio.mq.edu.au/behaviouralecology/Anne/Cryptostylis.html

另外，請參看
１．http://www.scienceinpublic.com/sciencenow/2007/orchidsex.htm
２．AC Gaskett, CG Winnick & ME Herberstein (in prep.) When Beauty is the Beast: orchids induce pollinator ejaculation

演奏會

在辦公室悶悶地，出外吸吸新鮮空氣，忽地音樂聲起．．．．

太陽出來了

清晨六時半，在Auburn大學攝取。

這兩幅也是，但用了不同效果。

靈異事件....真相

前篇中，幽靈是由光線穿過兩塊不平均的玻璃窗折射及反射而成；不明飛行物體是停在半空高速拍翼的昆蟲，一般數碼相機拍出來的效果！

靈異事件

窗外的幽靈？
不明飛行物體？

我看錯了，原來他倆是掠水大師！

在從三本書說起中，我提及一本叫作《宇宙統一場論》的書。我以為該書的兩個作者是自以為懂科學的儍瓜，但原來並非如此！

該書的作者，早已成立了一間公司，為該書的相關商品的買賣舖路！例如：可治病的統一場同步儀及信息電話等。還有，他身在大陸，卻只收美金或港元，而不接受人民幣！

原來，他們是以科學之名，欺騙無知婦孺，行騙做假之徒！！！！！！！！！！

後園的眾生

覓食的小鳥	採蜜的工蜂
不動的果蠅	折翼的飛蛾
花間的蜘蛛

可憐的飛蛾，從天空掉下，欲救無從；
怕人的蜘蛛，身軀倒是頗大，卻不肯樣我正面拍攝；
這些，香港也可以影到，但可曾有此閒情逸緻？

兩隻蜜蜂

兩隻蜜蜂在玫瑰堆中穿插。(攝於溫哥華後花園)

無窮無盡的我

我的花園

利用電腦科技（autostitch），把數張相連成一張，這是我家後園的「全貎」－－不過這是個300˚的視圖！(修正，應該只是270˚！　:P ）

自在

喝一杯咖啡，靜心欣賞自己親手打理的花園，一派悠然自得！

（噢！相中人是筆者父親！）

	這是我在加拿大的後花園，不算太大，但還可以罷？（把遮是用來擋雨的）

從三本書說起

IQ題：下列三本書中，哪本是討論聖經，哪本是科普讀物，哪本是神怪刊物？

1. 《宇宙統一場論》
2. 《宇宙洪流》
3. 《我們為何在此？》

不要往三聯書局（中環或網上）找提示，因為店員把他們一拼歸類為科普書籍。

很難猜？給你一個提示，《宇宙洪流》的全名是《宇宙洪流－－從聖經、世界古代文明、考古及科學角度追溯地球及人類歷史的開始》。它是今年才出版的一本新書，但所舉的科學例子是多年前的過氣科學謬誤。

再給你一個提示，《我們為何在此？》的其中一個作者是霍金。當中也有談及宇宙統一場論 (TOE, Theory Of Everything) 的發展。本書是由商務印書館(香港)有限公司出版，香港科技大學舉辦的公開演講「宇宙的起源」的節錄。

《宇宙統一場論》印刷精美，圖文並茂，是一本奇書。奇在兩位作者想擁抱現代科學，但又好像不大清楚科學是甚麼！兩位作者認為人類的『氣』就是物理學家想要追尋的統一場，他們提出一些不知從何而來的方程式，然後全書就是一些虛無飄渺的論說，甚至談及古代神人緣何可以長生！我曾於數年前在書展看過此書，以為就此消聲匿跡，想不到竟然在三聯書店科普書欄見到！


這三本書中，《我們為何在此？》仍在熱賣中，《宇宙統一場論》應該不會有人買，《宇宙洪流》可能有人買－－但請買的人好好心，不要亂給人看，否則有可能「荼毒青少年」．．．

唔，是誰負責把書籍分類的？是三聯的員工，還是作者的要求？

商務印書館也把《宇宙統一場論》分類為科普書籍，卻把《宇宙洪流》定為歷史書．．．

漫步尖東海旁

與朋友相約在尖東，豈料朋友突然不能赴約，遂經星光大道行往香港藝術舘。見香港罕有藍天白雲，一時興起，以手機拍下這兩幅相片。若香港多些有藍天，會是一個更可愛的地方。

超人的剋星！！！

在多年前，《Superman》作者用元素氪的英文Krypton作為超人原居地的名字，並且把一種不存在的納鋰硼矽酸化合物（Sodium Lithium Boron Silicate Hydroxide）作為超人的剋星，名叫kryptonite。

那星球及化合物的中文名字是「克利普頓星」及「克利普頓石」（又譯「氪氣石」）。

所謂世事如棋，不久前科學家在西伯利亞發現一種新礦石，經科學家分析，竟然與 kryptonite 類同！新化合物將會命名為Jadarite。

Kryptonite 內含氟，呈綠色；而 Jadarite 不含氟，呈白色。前者可以令超人變弱，後者呢？

關於發現 jadarite 的故事，請看http://edition.cnn.com/2007/WORLD/europe/04/23/britain.kryptonite.reut/index.html。

命與運的數學模型

多年前，曾向峰人風語提出一個頗為有趣的佛理數學模型。忽然心中一動，似乎得到一個改良版，但有些細節卻未想通：

用F代表「命」（Fate），用K代表「業」（Karma），用L代表「運」（Luck）。

命之改變，隨業而來，故 dF/dt=K；

好運消善業，壞運滅惡業，故 dK/dt=-L；

一個人的命，是由他的運氣以及他所行的事決定，故 F=L+D(t)。

如果甚麼都不做，聽天由命，則 D(t)=0，故 F-L=0，即 F+d²F/dt²=0。解之，則得

F=a₀ cos (t+b₀)

此人的命，只是一個永遠不變的遁環！

如果順境時（K>0）看風駛悝，逆境時（K<0）吃齋念佛，則 D(t)=-pK，故 F+pK-L=0，即 F+pdF/dt+d²F/dt²=0。解之，若 p<2則得

F=e^-pta₀ cos (t+b₀)

此人的命，仍是一個個的遁環，但卻會愈來愈平淡。若 p>2則得

F=e^-p₁ta + e^-p₁tb

此人的命，會脫離遁環，但會慢慢地達到命、業、運皆無的境界！

如果順境時（K>0）行善積德，逆境時（K<0）反而把心一橫，則 D(t)=pK，故 F-pK-L=0，即 F-pdF/dt+d²F/dt²=0。解之，若 p≤2則得

F=e^pta₀ cos (t+b₀)

此人的命，仍是一個個的遁環，但卻會愈來愈大風浪。若 p>2則得

F=e^p₁ta + e^p₁tb

此人的命，會脫離遁環，但要不是達到無限的善，便達到無限的惡！

很古怪，也不大合理，究意可否給于p一個意義（和一個自然的限制），使得這個模型更符合佛教思想？

關於工資保障運動的數學故事

香港政府現在大力推廣工資保障運動，希望雇主以不低於「市場平均水平的工資」支付清潔工人及保安員。在統計學內，平均數有多種，例如算術平均數（mean），中位數（median）以及眾數（mode）。一般的薪金，是屬於常態分佈（normal distribution），所有平均數是相等的；但如果出現非常態分佈呢？讓我們來個極端簡化版，考慮的是算術平均數：

假設市場只有三間清潔公司，分別是大企業A（可以受虧損400天），小公司B及C（各可以受虧損100天）；又假設收費與工資平點為時薪30元。

在未參加工資保障運動之前，A給與時薪24元，B給與時薪28元，而C給與時薪26元，算術平均數是26元。

如果三間公司都參與工資保障運動，A要把時薪升至26元。這時算術平均數是26.7元。

可以見到，A與C都要把時薪不斷提升，直至達到B的時薪28元。

現在似乎是理想境界，所有時薪都到市場的最高點。

A突然把時薪提高至31元。根據以上推斷，B及C都要把時薪推高至31元，於是三間公司都在虧損情形上運作。100多天後，B及C都會受不住而結業，只餘下A。因為A沒有操縱物價，不能用反壟斷法對付。A這時成了壟斷，重新把時薪減至24元。

媽媽玩數獨

兩年前冬天，我回加拿大探親，介紹媽媽一個稱為數獨的遊戲。估不到她立即迷上，甚至到坊間買數獨書來玩。

舊年冬天，這回是父母返港探我，我發現媽媽仍然在玩Easy級的數獨，而且技術亦沒有多大進步，往往要個多小時才能完成！媽媽見我在玩Difficult級數獨時，很快便答完，『心有不甘』，要看看自己玩Difficult級時，需用多少時間。估不到，這是媽媽數獨世界的轉折。

開始時，她要用上數日來完成；有困難時，要我給一點提示。這樣子，她學到一些在Easy級顯不出威力的技術。不出一月，她便能在數小時內完成一個Difficult級的數獨！這時她再看Easy級的數獨，可以不費吹灰之力解答。

在學習路上，遁序漸進並非不二法間。越級挑戰，很多時才是成績躍升的最好方法。

由國金走到中環碼頭

利益極大化

現代經濟學的第一假設：在可能的情况下，人會尋求利益極大化。

中文副教授唐方方在《信報》及《財華網》刊出題為『義烏商人決策達致「利潤最優化」』中，提出很多人都沒有嘗試賺到盡，好像與這個假設不符。

是真的不符嗎？

世事的難測，即使消耗心力，機關算盡，自以為勝卷在握，不給對手任何餘地；那知人算不如天算，亦因為逼人太甚，沒有妥協空間，可能一切得不嘗失！俗語所云：「機關算盡太聰明」、「凡事留一線，日後好相見」、「錢不可以賺到盡」，所是這個意思。

食蟻獸不會把所有的蟻吃掉，因為它要保證永遠有蟻食；同樣道理，不要嘗試在這刻把錢賺盡，可能就會永遠有錢賺－－換句說話，短期不賺最多的錢，長遠可能賺得更多。

明白這個，即使個人真是自私，真的希望尋求利益極大化，亦會留一點睘轉的餘地。結果，就是好像沒有嘗試賺到盡。

不明白這個，但不懂得如何去計算利益極大化，唯有用最簡單的方法，如文中的義烏商人。結果，亦是沒有嘗試賺到盡。

兩種情況，可能當事人都己經賺到盡，不過我們永遠沒法肯定。

最要命的，是不明白這個，亦不明白自已根本不知道如何去計算利益極大化，嘗試去賺到盡。自私加上無知，就是一切災禍（例如污染、濫捕、沙漠化）的根源。

所謂利益極大化，只是經濟學中的一個假設，用來解釋社會行為。祗有很少的一撮人，真的會身體力行，用極複雜的理論，尋找最大的利潤；而當中亦只有更少的一撮人，可以真的達到心目中的最大利潤。

世上沒有免費午餐

『世上沒有免費午餐』，由剛過世的經濟學大師佛利民發揚光大，成為家傳戶曉的一句名言。問題是：誰付鈔？

我的朋友說，甘地及德蘭修女無私奉獻，沒有犧牲其他人的利益，是絕對的偉大。不是的，例如他倆都致力幫助所謂賤民階級，其實損害了種姓制度支持者的利益－－不過在我們的道德觀念裡，那些人不該擁有這樣的利益。

為甚麼我們的道德觀會比那些種姓制度支持者正確？任由那一位思想家，都說不清楚。不同的道德觀，似乎亦在演化，在競爭在淘汰。

慢 慢地，科學好像成了各種信仰的最大公因數。因為科學可以用實驗來測試，有一個較為客觀的標準。但，這個標準是甚麼，卻沒多少人清楚；結果，不論是商業販 子，或一些宗教頭目，都不約而同的引入了僞科學。市面的不良醫藥廣告固然可惡，但影音使團的地球深度行，真的找到挪亞方舟嗎？

科學與信仰的最大分別，再於前者不容許矛盾存在，而後者卻永遠都充滿矛盾。例如，我相信我們應對所有信念有所包容，但要我包容那些『不包容』的思想，郤有些難度。

有些自以為開通的人，把堅守「傳統道德」的人謔稱為『道德佬』。其實，他們卻不自知地成為另一類道德佬。不同的道德觀都有不同程度的排他性，每個人在其底線上，都是一個道德佬！當你要維護自己的道德時，就要犧牲其他思想的利益，因為『世上沒有免費午餐』。

天（道），自然，市場

我們時常談及天（此處等於道） 、自然、市場。這三個概念，看似不同，但細心玩味，似乎是同一個概念的不同面貎。

當我們談及這三個槪念時，似乎經常出現邏輯矛盾：人是道的一部分，人的行為就是天的一部分，怎可以逆天而行？人是自然的一部分，人的行為就是自然的一部分，怎會是違反自然？人是市場的一部分，人的行為就是市場的一部分，怎可能叫作干預市場？

其實看深一層，是有點『成王敗寇』的味道。成功的，就是順應天命、符合自然、服從經濟規律；失敗的，就是逆天而行、破壞自然、搞亂市場運作。

究意有無客觀標準？只可以說，自古以來，人類都相信冥冥中萬物是跟從一定的模式運作。於是，我們憑着『成王敗寇』為例子，然後觀察、研究、學習，嘗試找出這個模式。

當我們掌握了一個模式，會利用它來為自己尋求更大的利益。不過，我們的模式可能是錯，或可能是對但出現不能控制的因素，但我們只能盡力而為－－這個便是諺語「謀事在人，成事在天」，或更一般的，就是進化論中的「物競天擇」。

有人指出，為自己尋求最大的利益，是自私的行徑。但其實，聖雄甘地及德蘭修女等，亦是為自己尋求最大的利益。不過一般人心目中的『自己』，是小我，而偉人心目中的『自己』，是大我。可惜的是，無私並不一定是對，就像那些自殺式襲擊的人，當然是否偉大，便人言人殊。

說回「物競天擇」。其中一個結果是弱肉強食。如果最強的捕獵者也吃不了最弱的獵物，整個自然生態便會崩潰。美國某地方曾經有個以下的故事：為着保護純良的鹿，人類把凶殘的狼趕盡殺絕，然後失去天敵的鹿不受節制地繁殖，幾乎吃光了植物，所有的鹿差不多餓死，最後人類把狼從新引入，一切才回復平衝。

這個故事中，少數的生態學家對，多數的群眾錯。套用在人類社會。當我們實施一些措施時，我們是否真的明白後果？究竟要相信少數人的高瞻遠觸，還是多數人的集體智慧？

關鍵是教育：只有多數人都擁有知識，集體智慧才有意義。否則，不論是小數人獨裁，或多數人愚昧，都會導致災禍。

香港人的集體智慧，是否可以信賴？可以的話，香港就應該是民主政體、自由經濟。吊詭的是，有大商家反對民主，支持市場經濟；有社運人士支持民主，反對市場經濟；有左派說信賴群眾，但不支持民主，兼支持計劃經濟！

究意是甚麼回事？

龐加箂之戰：數壇的天子

New York Times 似乎要和 The NewYorker 打對台，日前刊出了一篇題為The Emperor of Math 的文章，內對丘成桐有較為正面的描述。

文章內，丘成桐回應 The NewYorker 的 Manifold Destiny 把他妖魔化的陳述，否認貶低今屆菲爾茲奬（Fields Medal）得主對解決龐加箂猜想的頁獻。

其實龐加箂猜想的解決，應是數學界欣喜的事；現在卻變成錯綜複雜的恩恕情仇，令人不禁惋惜。

不過話說回來，New York Times 的觀點也不是一面倒。這篇文章的題目，給我的感覺是有點諷刺或嘲笑的意味，不知是否我太過敏感。

純女性的國度

想像以下的國度：

一個純女性的國度，她們的祖先確是有男女兩性，但現在她們只倚靠自我細胞複製來繁殖下一代。

她們也有性行為，但這只是作為生理發泄，並沒有交換基因。

她們沒有一些成員扮演着男性，她們不需要這些。男性，只是存在於她們湮遠的回憶之中。

身為男性，對這個國度可能感到不安。不過，這個國度絕不是男性的地獄，因為這個國度根本沒有男性。我可不曉得這個國度會否是女性的天堂。

先不要對我所說的國度嗤之以鼻，以為痴人說夢，否則只顯出無知。這個國度，是真實存在的，她們就是新墨西哥鞭尾蜥（New Mexico Whiptail ，拉丁學名Cnemidophorus neomexicanus），是孤雌生殖（parthenogenic）的生物。

至於人類，可能將來有一批女性主義先鋒，駕着大空船，帶同最尖端的複製科技，在星際中建立一個心目中完美的新亞馬遜世界。

剎那的同時

剎那，佛家語，意指很短很短的時間。有計算是指大約13毫秒，或 1/75 秒。但若以其宗教意味來看，剎那其實近乎普朗克時間（Planck time）。

普朗克時間，大約5.4x10^-44秒，是由上世紀初萌芽的量子力學－－小尺度物理－－的慨念。根據量子力學，普朗克時間是一個極限，即不能量度比它短的時間。既然如此，『同時』是甚麼意思？

另一套亦是由上世紀初萌芽的物理學，就是相對論－－大尺度物理。根據這理論，信息傳播不能超越光速，因而不能另兩個計時器「真正」同步。亦即時間是相對的。那未『同時』又有甚麼意思？

把這兩套物理學融合為一，是現代物理學家的聖杯。霍金的《時間簡史》中的理論，亦以此聖杯為目的。

不過，霍金並未成功。反對其理論的物理學家，亦大有人在。連物理學家亦未能對時間的結構有一致意見，更不用說哲學家了。

建基於絕對時間，已經有不同的時間哲學。現在的情況，直是令人目眩！

愈看愈是胡塗。可能，時間根本是個『知得愈多，明得愈少』的玩意。

龐加箂之戰：成桐反擊戰

今日《明報》分別有文章談及龐加箂之戰的兩位重要人物：丘成桐對中國學術界的批判，及Perelman的與世無爭。

不久前，NewYorker發表了一篇文章，提為Manifold Destiny。作者SYLVIA NASAR 及 DAVID GRUBER，把Perelman說成龐加箂之戰的隱士，而丘成桐則被描寫為歹角！

丘成桐當然不可以忍受如此侮辱，今週終於反擊！他發佈新聞稿，告訴傳媒他已向NewYorker發出律師信（Letter to New Yorker），要求正式報歉。

Manifold Destiny的作者，聽聞有意為龐加箂之戰出書及出劇本。但現在，他們亦為了故事中的人物。

正如我在http://wshun.blogspot.com/2006/08/new-yorker.html所說，一切 to be continued...

圍棋與蒙地卡蘿

圍棋是中國國粹，亦是韓國及日本的受歡迎智力遊戲。下棋者，要計算每一步，不可存在撓倖之心。

根據數學理論，所有不含隨機成份的二人博奕，其中一方會有策略，可立於不敗之地。若然我們知道此策略，棋局未開始，便勝負已分。圍棋，沒有人知道這個策略，數學家才剛開始研究這個遊戲，亦因而衍生了相關的遊戲埋論。

蒙地卡蘿，世界著名賭城，每日有多少人在那搏一搏？運氣，在此可謂是必不可小的。

但利用統計學，或者可以增加勝算。蒙地卡蘿方法，是統計學上一個計算或然率的方法。

雖然我們不知道圍棋的必勝策略，但利用蒙地卡蘿方法，我們還是可以估計出每一步可能的最佳行法。這就是近年最新電腦圍棋程式的方向。

最近，wired有一篇訪問冠軍程式Crazy Stone的設計者Rémi Coulom的文章：

AI Invades Go Territory

裡面提到，他設計程式的目的是要贏其他電腦，不是要贏人，也不是要贏得漂亮。說得也是，用統計得來的步法，通常都是平淡，沒啥驚喜，有說棋手通常不大愛觀看這樣的棋局。

現在的電腦程式，已可以擊敗國際象棋世界冠軍。但電腦圍棋，連低段棋士也未能勝過。圍棋，是未來人工智能的新方向。

龐加箂之戰：The New Yorker

在前篇《龐加箂之戰》文中，我預告有人已為此撰文。估不到這麼快便出手了， SYLVIA NASAR （The Beautiful Mind 的作者）及 DAVID GRUBER 的

Manifold Destiny

正是為此數學界的大事作了較深入的報導。可惜的是，這個故事的歹角以乎是香港人，唉！

對我前篇不欣賞的人，希望這篇高水平的文章可以滿足他們的要求。戰鬥還未完結，還有一些枝節亦未在文章討論，所以 to be continued...

甚麼是normal？

A：如果獨身的人要收養孩子．．．
B：沒有國家容許獨身的人收養孩子！
C：因為要保證孩子有個normal family。
A：我可是個normal family專家啊。

要明白這個笑語（或者不太好笑），就要明白normal family的意思。第一個是指『正常的家庭』，後一個是數學上的『正規族』。

normal 這字，用途太廣範。

最原始的解釋，是指『理當如此』，如：A normal mother should love her children （正常的媽媽要受惜自己的兒女）；或是指『多數如此』，如：A normal person could not run that fast（一般人不可能跑得這麼快』

然後，在社會學上，變成『與不平均數相距不遠』。這是把『多數如此』給出一個較準確的科學定義。不過，常用平均數有三，分別是眾數mode，均值mean，及中位數medium。若三者相若，則問題不大；但若三者相差頗大，用不同的平均數可能會做成爭議，猶其是用以制定政策時。

有一種統計學上的分佈方式，眾數、均值、中位數皆同，且越遠離平均數，越是罕有。這特殊的分佈稱為正態分佈normal distribution。若一個社會，它的財富是正態分佈，則窮人及富人都較罕有，反而是中產的較多，它的財富分佈會較為平均。所以，normal distribution的normal，是有點『理當如此』的意味。現實中，很少有真正的normal distribution，頂多是接近。所以，normal distribution並不是『多數如此』的distribution。

normal distribution是有很多優美的數學特性的distribution。很多不同的數學物件，都會有一些被稱為normal（中文稱為正規）的，是命名的數學家認為它的特性優美。除前述的normal family外，還有normal subgroup，normal matrix，諸如此類。這些normal的東西，一般非但不是『多數如此』，甚至乎相對罕有。

可以見到，笑話中的兩個normal，某方面的意義是完全相反！

龐加箂之戰：粗疏的簡介

小道消息，有一些人已經磨拳擦掌，準備為世上少見的學術界比拼寫成小說。

真的，關於龐加箂猜想的歷史，簡直就是一部武俠小說。

龐加箂猜想，由Henri Poincaré於1904年提出。它的證明，就像一部人人這得到的武林秘笈。

然後，不斷有人嘗試證明。世人一步步接近這部秘笈。

Richard Hamilton提出一個大方向，公認是尋找秘笈的正確路向。

2000年，Clay Mathematics Institute宣佈，得到秘笈者將獲百萬美元奬金。

突然，一個隱士Grigori Perelman平空而出，宣稱已證明了龐加箂猜想。而然，因為他淡薄名利，恃世獨行，決不正式向武林公告，留下了不少問號。他現在已不知所踪（消息終於在今天明報刊登）。

既然留有問號，很多人仍然為這秘笈努力。三路人馬，皆要稱王。三路人馬分別是：曹懷東和朱熹平由丘成桐支持之下，宣佈正式解決了龐加箂猜想；耶魯大學的Bruce Kleiner與密歇根大學的 John Lott (University of Michigan)；還有，南京大學的田剛與哥倫大學的 John Morgan。

田剛與丘成桐的師徒反目，田剛丘成桐事件為這場戰伇增添不少色彩。

還有不小有趣事件，恕未能在此披露。

The Joy Of Pi

圓周率，乃，周徑之比，即，圓周除直徑，無盡而不循還之數也。
此數，非兩整數的比，是為無理數。

圓周率，更為超越數，即任一整數多項式，圓周率不會是其零點。
古希臘改圓為方，因此被證明為不可能。

有比賽，看誰，可記得，最多的圓周率數位。
有得勝者，曾經著書立說，解釋：如何強化記憶？

講到用途，圓周率，多樣化：
圓柱球體與橢圓形、機會率、數率、波動函數都要它。

其計算和歷史都有趣，看《神奇的 π 》。

權力的量化

Ａ：曾蔭權的權力有多大？

Ｂ：不大，他在立法局沒票。不小，他有保皇黨支持。

Ａ：給我一個科學化的答案罷！

Ｂ：你是要一個數字？你是要一個可以代表權力大小的數字？

Ａ：是啊。要投資也要知道風險系數嘛！

Ｂ：那就用權力指數罷。這是把權力量化的工具。

Ａ：那挺不錯。

Ｂ：最常用的是Shapley-Shubik指數，美國總統擁有國會１６％權力。

Ａ：那美國國會是頗平衡的啊！

Ｂ：次常用的是Banzhaf指數，美國總統擁有國會４％權力。

Ａ：這樣不成了破腳鴨總統嗎？

Ｂ：也有Johnson指數，美國總統擁有國會７７％權力。

Ａ：原來美國也是個獨裁政體！

Ｂ：最後是Deegan-Packel指數，美國總統擁有國會0.4％權力。

Ａ：即是幾乎全無影嚮力？！

Ｂ：這純粹從制度計算，還未考慮政黨背景。

Ａ：四種指數，差異真大！

Ｂ：若總統權力絕對大於議員，所有總統權力指數都大於議員。

Ａ：所以計算的結果是，制度上，美國總統權力未必大於議員！

Ｂ：政治現實是，美國總統很少孤軍作戰，他的權力指數隨國會成份而變。

Ａ：四種指數，孰優孰劣？

Ｂ：各有優勝處，各有吊詭處。

Ａ：曾蔭權的權力有多大？

Ｂ：未計！

立法會投票制度的維數

在香港，念數學而參與政治的名人，如今只有曾鈺成。但不知曾某對政治數學有多大研究？

政治數學，可以歸納為博奕論的一個分支，但絕非只是很多香港人自以為明白的納殊博奕。這裡我想一說，比較少人提及，立法會投票制度的數學模型。

為着簡化討論，我們不容許棄權票，即所有棄權票作反對票處理。

最簡單的立法會，是一人一票的簡單大多數。稍為複雜的，是『加權投票系統』(weighted voting system)：即是在議會內，各位議員擁有可能不相同的票數，而議案通過的條件是要有超過預設數量的支持票。

舉例，有四人議會，一人有兩票，一人有三票，另兩人各有一票，議案雖四票支持才能通過。這就是『加權投票系統』，記作 [2,3,1,1;4]。

在幾乎大多數國家，都是用單一議會的加權投票系統。

數學上，我們稱這個為一維投票系統。即有一維，自然有二維。一個二維投票系統，是指議案要經過兩次不同的加權投票系統通過。

美國國會當然是二維，因為法案要分別通過參議院及眾議院。英國國會是雙議會制，但基本上議案只需在下議會通過，所以仍算是一維。

加拿大修改憲法，要多個一半省份支持，而支持省份要代表超過一半國民，才可通過。這是個二維系統。

一個n維投票系統，是指議案要經過n次不同的加權投票系統通過。

香 港立法會，政府議案通過只要多過一半議員支持，似乎是個一維；私人動議卻要功能議席及直選議席各有超過一半支持，似乎是個二維。加起來，香港立法會是個三 維投票系統！避開數學細節，計算時我們需要引入一位只會支持政府議案的隱形議員，他代表着香港政府在立法會內的直接影嚮力。

這些投票模型，可以幫助計算不同人或政黨的權力，亦可以幫助電腦模擬分析。

順帶提出，表面不相干的兩個學科，政治與數學，也可以有一定程度的連系。未來中學通識課程，為何可以被任意割裂？這真是通識嗎？

進介參考書：Alan D. Taylor, 《Mathematics and Politics》

吸血蟲的強暴世界

我一向相信，所有人的行為都可在其他生物找到。一些人類的邪惡行為，可能是某些生物的正常生活。

吸血蟲begbug的世界內，所有的性行為都可稱為強姦。雄蟲在交配時，針狀的生殖器直接插穿雌蟲表面進入體內。因而雌蟲表面可以見到一個個孔洞。

其他的昆蟲，雄性要先得雌性歡心，然後用生殖器對生殖器，把精子送入。吸血蟲的雄蟲一於拳頭至上，覇王硬上弓，連對方生殖器入口也不找了，索性隨意插入！

生物學家說，這是吸血蟲的進化策略，減少求偶所需的虛耗。噢！

吸血蟲的世界內，還有雄性姦雄性！當強者面對弱者，會毫不留情的施暴！這行為的原因，生物學家還在搔不着頭腦。

有一種說法，是施暴者在受害者體內留下精子，在受害者與異性接觸時，會把施暴者的精子一拼射出。若如是，則受害者還要幫助施暴者傳宗接代！可能是自然間最邪惡的雄性姦雄性了。

不過生物學家說這猜測還找不到證據。

七種『母親』

近來有幾位朋友剛為人母，或將為人母。剛好近期又讀到一些花邊新聞，便寫寫不同種類的 『母親』：生母，代母，飬母，後母，契母，教母，師母。

通常只有前四種可被稱為母親，但後三者確分擔一部分母親的職責，故一拼論之。

若徒兒的師父為男性，徒兒師父的妻子便稱為徒兒的師母。恕我如此累贅，因我想順勢提出，若徒兒的師父為女性，徒兒師父的丈夫卻沒有特別稱呼！

師母與徒兒的關係，要視乎她對丈夫事業的介入度有關。這關係會非常疏離，但在一些傳統的行業，可能師母也負着一些教飬的責任。

教母，好像是天主教獨有：每位教徒都有一位教母，為孩子給與一些宗教上或生活上的幫助。契母，是中國民間的傳統：當二人建立了契約的關係，契母便有責任給契子女給與一些道德上或生活上的指引。教母與契母，在傳統的天主教家庭，幾乎沒有分別。

當然，每個天主教徒都有一位亦只有一位教母，但一個中國人可以沒有或有多於一位契母。

後母，是指父親再娶的妻子。這個不用多說。

真正飬育孩子的女人，就是飬母。對飬母不是生母的人，可能有「生娘不及飬娘大」之嘆。

有一種界乎生母與飬母之間的，就是古時大戶人家的乳娘。這種要放棄用自己的奶餵餔自己孩子的古老職業，聽說最近在中國大陸再次出現。可能是因為現代醫學界重新提倡母乳比奶粉好。

生母是誰？如果你的答案是『生你下來的女人』，已跟不上時代。陸恭蕙的孩子，並非她生下來的，而是請人代生的。用自己的卵子與丈夫的精子結合，放在另一個女人的子宫內，誔下自己的孩子。陸恭蕙才是那孩子的生母，供給子宫的女人便是孩子的代母。

十月懷胎的女人，竟然只是代母，而不是孩子的生母，這是對社會倫理的一大衝激。

那麼生母是否『卵子的供給者』？又不是這麼簡單。也有的不育妻子，讓他人的卵子與丈夫的精子結合，放入自己的子宫內。這在法律上，自己仍是孩子的生母，而卵子的供給者仍只是卵子的供給者！

科學家曾把兩個老鼠的卵子結合成胚胎。如果人的卵子也可依樣胡蘆，那可知問題更大。

還記得阿諾舒華申力加的《龍兄鼠弟》嗎？主角是不同人基因的混合體，所以他有多個生父生母。但他還只有一個把他生下來的女人，而這女人便是後來與他團聚的母親。就現代法律來看，這是他的生母嗎？

自由選舉及自由貿易

有人說：人有選擇管治者的自由
（有人說：人有選擇經濟活動的自由）

現實是：民主菲律賓經常政變，民主印度多數人生活艱苦
（現實是：自由貿易令美國工人失業，自由貿易令南韓農民生活艱苦）

歷史上：民主美國出現南北戰爭，民主菲律賓選出獨裁馬可斯
（歷史上：1860-1892歐洲對外貿易最少干預卻出現了著名的經濟大衰退，在 20世紀 60至 80年代美國大幅減少關稅的干預但平均經濟增長卻低）

所以，人權分子說民主有益於國民並不一定成立
（所以，經濟學家說自由貿易有利於國民並不一定成立）

我們不應盲目相信民主
（我們不應盲目相信自由貿易）

結論是：國情不同，民主不適合我們
（結論是：國情不同，自由貿易不適合我們）

結論是：在國民不成熟時，不應倉卒推行民主，我們要遁序漸進，最終會達至民主的
（結論是：在國民未準備好時，不應倉卒開放市場，我們要遁序漸進，最終會達至自由貿易）