美麗的『空白』

美麗，有不同的定義。能給與觀賞者遐想的空間，也是一種美麗　－　這就是所謂「留白」罷！

留白的意思，在於以最少的內容帶出創作者的思想；給觀賞者足夠想像空間之餘，又不致偏離作者的原意。

留白，太小則成了死板陳述，太大則可能空洞乏味。所以留白絕對顯示創作者的實力。


中國的水墨畫，講求「自然」，要以留白表達道的思想；左圖是八大山人的作品，是典形的水墨畫作。

圖畫有留白，還有其他的留白：

現代舞，有點近乎『不立文字』的境界；但筆者往往功力不夠，不能了解舞者的意思。

寫文章，有所謂「不要畫公仔畫出腸」，最好能做到『書不盡言，言不盡意』。

城市規劃，要有『公共空間』；足夠的空間，才會讓人住得舒服。敢問多位地產公司高層，有住在自己公司起的樓盤嗎？

家居擺設，不要弄得水泄不通，這對空氣流通及家居安全不好。

撰寫法律，也不要寫得太死，這就是『創造性含糊』（creative ambiguity）。

最美麗的方程式

大數學家歐拉（Euler）發現的方程式

e^{i π}+1=0

譽為最美麗的方程式，因為它包含了五個最基本（或最重要）的數學單元：歐拉數ｅ，虛單位ｉ，圓周率 π，1 和 0。

注意：黃金比例φ並不包括在內，事實上黃金比例在純數學中的應用相對有限。

歐拉數的命名，是要表彰歐拉對這個特別數字的研究。歐拉數以ｅ代表，也是由歐拉開始（但以乎並非蓄意利用自己名字的首字母）。ｅ在數學的地位，與它在坊間數學小品的罕見，似乎不成比例；一般人要在高等數學才開始接觸ｅ，可能是一個原因，但其實ｅ與香港人的生活息息相關。

當本金為1，年息為1，逐年計算，一年後本利和是 (1+1)¹=2；
逐月計算，一年後本利和是(1+1/12)¹²=2.613；
逐日計算，一年後本利和是(1+1/365)³⁶⁵=2.714；
逐秒計算，一年後本利和是(1+1/525600)⁵²⁵⁶⁰⁰=2.71828278721；
如是都，把計算的時距不斷縮窄，極限的本利和就是ｅ=2.7182818...

當本金為Ａ，年息為ｒ，一年後的極限本利和就是 A e^r。可以想像到，所有的金融生工具都與ｅ有關！

直至高中，課本都說所有數字的平方都是正數；所以只有『子虛烏有的數』，即虛數（imaginary number）才可能是 -1 的平方根，記作 ｉ。古代的數學家不想面對這樣的數，但它不斷在數學中出現，逃避不了；直至把 ｉ 等同平面上 (0,1) 這一點，數學家終於擺脫迷思，得出一個二維的數字系統。

可以見到，這是一個革命性的新數字系統，有很多在一維數線上不可能的特性　－　例如正弦（sine）竟然可超過 1！虛數的應用更加進入了物理學，但不時以ｊ代替ｉ，以免與電流符號混淆。

圓周率 π 是圓形的周長與真徑之比，其用途及重要性不用多說。由最古老的『周三徑一』（即 φ=3）到現代準確度達百萬位的計算，關於 π 的故事幾可平行於人類歷史！令人迷惑的是，古人憑甚麼斷定圓周是 2 π r 及圓面積是 π r²？

計算π有很多方法，其中一個有趣的方法是

π/2 = (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)(8/7)(8/9)...

理論上可以由此把π計出來，但要很久很久很久．．．（打呵欠）。

1 當然重要，它是我們第一個學習的數字呀！其實 1 應該是最常用的數字罷。究竟「一」的概念是否在天生的，亦存在爭議。當然在哲學層面１也是重要的，有所謂『萬法歸一』嘛！

0 的重要性，亦不用多說。但 0 是甚麼，卻不好解釋。自 0 作為位置符號（例：用以區分17或107）面世，以至被接受成數字，它的歷史充滿着哲學和實用的比拼　－　畢竟把「零」、「無」、「道」、「空」四個概念混淆仍大有人在。

最後，如果閣下是在找尋『最美麗容貎的方程式』，這篇文章標題可能誤導了你，請容筆者說句「對不起」。

對美的追求：由 φ 與 π 到電子音樂

右邊的希臘神殿號稱根據黃金比例，φ=1.618...所建，但實則測度卻是1.71，有接近 6% 的誤差！就統計學而言，這誤差太大了。
右邊的大金字塔的底邊長度與高度之比乘以２是圓周率，π=3.1416...。實際測度是3.16，誤差只是 0.6% ，好像不錯；但若同時量度其他金字塔，會令人懷疑與圓周率關係完全是巧合（見這裡）。

為甚麼會有這些誤解？

首先，是對古代文明的驚歎及誤解，不自覺把現今科學知識套入古代時空中。

其次，是太強調美學與數學的關係（似乎源於文藝復興），容易以主觀願望令人接受一些較大的誤差。

在想把美學理性化的年代，這些似乎不可避免；但究竟美是否真可以純理性研究？

曾經看過一套卡通片，有一個星球科技先進，每個音符都太完美了，結果地球上一個五音不全的少女歌聲被視為驚艷！

事實上，現代的音樂軟件已可得出最完美的聲音，卻先去人性化。所以電子音樂家反而故意加上一些干擾，反而聽得舒服。某音樂人曾說：

"With modern music software it’s easy to create a perfectly even sine-wave tone. The sound will annoy you after listening to it for a few seconds.

Why is that? One of the reasons is that it is too even, too perfect. If you add a little modulation too it, the sine-wave is beginning to sound more interesting."

黃金比例

上一篇談到所謂美的面譜，φ-mask，宣稱黃金比例（φ=1.618...）是人類美的標準。但盡信書不如無書，畢竟那個卡通人面也不見得真是美！事實上，Dr. Stephen Marquardt的所謂證據其實有極大的主觀成分！


很多人說黃金比例是古希臘人對美的定義，但這純綷是誤傳。關於黃金比例的美的理論，很多時不是主觀，就是有些穿鐅附會成分。最出名是人的身高與肚臍位置高度成黃金比例〔見左圖〕，其實也沒甚科學理論支持，只是達文西的想法影嚮了後世藝術家而已！

在George Markowsky的文章中揭露了很多關於黃金比例的謬誤。其中關於最美長方形的研究，發現人眼中最美的長方形，原來不是黃金比例的長方形〔見右圖 φ=1/b=b/a〕，打破了藝術家很多關於黃金比例的迷思。

有興趣的讀者，也可以看看Mario Livio的《黃金比例》（原名The Golden Ratio），前些兒商務印書店還有售。此書介紹黃金比例及有關謬誤，可以推荐給初學者。

因為黃金比例的特殊數學性質，令它在自然界及統計學有一定的地位；或者最後真的被證明是美的客觀標準，也未可知！

黃金比例其實是　φ=(√5 + 1)/2，但最有趣的表達式，是連分數如下：

心善則美？平均則美！

前些時有套電視劇宣揚所謂『心善則美』，似乎太過童話化。若如是，則美容院早關門大吉，怎會成行成市！

有些人以手術追求美，即人造美女，感覺頗嚇人。但究竟誰判別怎樣變臉才是貌美？是顧客還是醫生？根據甚麼標準？若美貌標準改變了，是否要再做一次手術？

當然，關於何謂美貌，已有很多科學研究。在維基百科中關於美及吸引力的討論，學術化得令人窒息。

在2005年，有一篇關於美貌的論文《Attractiveness of own-race, other-race, and mixed-race faces》，香港報章也有提及。研究員要以統計學模形融合不同的臉孔，得出不同的虛擬容貌，然後邀請參與者把不同的臉孔按美貎程度評分。結果是相熟人士的平均面孔，是最吸引的！

也可以說，我們心中的美人兒，就是在我們「中間」！美人，原來不是如何特出，而是如何平均。

論文也說為何有這樣美的感覺：雖然生育已可能不是最要緊，但人類潛意識還是要找個基因最好的；與大多數人相同的基因，必是最好的；就這樣，多數人的平均，便成了選擇的最簡單條件！

噢！當然還有所謂黃金比例 φ=1.1618，面孔的相關部分適合黃金比例，被相信是美的條件。不信，可以自己去看看這裡。Dr. Stephen Marquardt由此而得出著名的 φ－面譜（phi mask），宣稱是美的模型，如下圖示　－



當然心善仍是美，但卻不是貌美，應該是氣質的美罷！

求存求善

Richard Dawkins的著作《The Selfish Gene》中，基因的自私引致物種的演化及社會的發展，譬如：工蟻辛勤勞動，哺育幼蟲，為的是使自己的基因延續下去。如是者，行善也是自利。

現代經濟學認為人的自利行為，是人類經濟活動的基石。如是者，自利也是行善。

或者可以簡單的說：求善就是求存。

但求甚麼的存在？求自身的存在？求家庭的存在？求國家的存在？求民族的存在？求文化的存在？求人類的存在？抑或求大自然的存在？

有謂自身存在是小我小善，其他的是相對的大我大善，所以有『犧牲小我，完成大我』之說。

若真有輪迴，大我存在，可保障小我來生的存在；小我和大我沒有根本分別。

不過有時看來的善，其實是惡；看來是惡，其實是善。限制外國貨，看來可保障本國工人，但其實損害消費者，反倒可能傷害經濟；接種牛痘，把病毒輸入身體，似乎有害，但卻可刺激免疫力，幫忙抗病。

有說『善有善報，惡有惡報』，但認稱善惡，倒未必容易。怪不得古人云『格物明德』：要知道事實的真貌，才能明辨是非。

但事實的真貌，因果的關係，當然難以掌握。要掌握善惡，還是要靠五個字：教育與研究。

生之謂性

朋友的文章談到人生的開始，於是想起『人之初，性本善』。當日中文老師曾提過除了孟子性善及荀子性惡之外，還有另一人。

筆者中文修飬有限，唯有上網查詢。孟子和告子之間與荀子和孟子之間人性觀的爭論，原來一向是中國人性論史的重要課題。

網上一篇文章《告子、孟子和荀子的人性論證平議》，作者張炳陽的解釋給筆者上了一課。

告子認為人的本質（性）無所謂善與不善，所謂食色性也，道德是後天的枷鎖；告子的「善」是相對的，沒有標準的。

孟子認為人性不只食與色的動物性，還有人天生傾向善的感情，等待萠芽；孟子的「善」是「心善」，其實是指人心所向。

荀子認為人天生感情是粗糙且沒有傾向（即性本惡），需要後天教導。荀子的「善」是指「禮義法正」的行俓。

筆者不欲班門弄斧，但甚麼稱為『善』倒是個問題。文章中說三人的善根本不同。

根據現令資本主義經濟學，每個人的自私心反而推動社會進步；就如工蟻努力工作，餵哺幼蟲，其實是要令自己的基因（與幼蟻完全相同）保存下去。

如是說，為善亦只是生存必需而已！不過可能要透過教育，明白怎才可以為善，可以生存。當然受制於還境，一人的善可能是他人的惡。

如是說，告子正確，孟子似乎也對，但荀子又不大錯！

是了，所謂『有情眾生』，似乎萬物也是性本善；因為所謂狼子野心，對狼而言，亦是善！

在電視劇《覆雨翻雲》中，立志推翻明朝的大奸角，亦只是一心為同族人（蒙古人）做事的『義士』而已！

情由心生？心隨情動！

		心	♥
© Kathy Mak September 2004 － 相片來源：香港中文大學	說文解字的「心」	現代中文的「心」	歐洲傅入的「心」形

當思想感覺時，就會心跳。古人斷定心是思想之源，但其實因果倒置，腦部思想需要大量血液運送飬分，以致心跳加速：－所以『情由心生』是錯，『心隨情動』才真！

但情由心生的想法，結果是「心」「忄」成為多數情感字匯的徧傍，例如「愛」、「惡」、「怨」、「恕」、「情」、「恨」、「悔」、「憎」。

中文的「心」，是象形的極致！且看《說文解字》的「心」，以致現代的「心」，都隱約見到心臟的形象。

歐洲的心形♥，相比就較簡單，但卻更容易讓人發揮創意¹。心形朱古力、心形薯仔、心形賀咭等，都是送給情人的恩物！

註１：♥是數學上所謂簡單通連的形狀，即中間沒有斷裂或空洞。

朱古力的學問

中國元宵之後西方情人節，就說說頗受歡迎的朱古力。

以前在《多性戀》曾介紹真菌網站在多年前二月的文章。這個網站每月都會介紹不同的真箘，而二月的往往與情人節有關。今年二月這個網站介給是有關朱古力的真菌。

首先是叢枝菌根菌（Acaulospora scrobiculata）一類與可可樹根作共生關係的真菌，幫助可可樹吸收泥土的飬分。

然後是把可可豆發酵的酵母菌，例如克魯斯假絲酵母（Candida krusei），它幫助減低可可豆的苦味。

遠在印加文化之始，印第安人開始種植可可樹，可可豆甚至能作為通用貨幣。印第安人以可可豆汁加入各種香料成為飲料，此飲法輾轉傳入歐洲；十七世紀時，糖取代胡椒成為最受歡迎的朱古力添加劑；隨着英法各國自行種植可可樹，打破西班牙襲斷，本是貴族飲料的朱古力終於進入平民百姓家。

為甚麼人會喜歡略帶的苦味朱古力？研究指出可可豆有多種刺激大腦的化合物（如㗎啡因（caffeine）及安南得邁（anandamide）)，帶出歡愉的感覺。但我想商人的推銷，更是加強朱古力是甜蜜化身的地位！

朱古力是有益或有害，仍具爭議，但適可而止，永遠是最佳做法。

在《The Exploratorium》有一篇關於朱古力的特刊，值得一看。

朱古力，不知為何又叫巧克力，但我總覺前者較好，皆因大多數朱古力都是近朱色（紅色）的。

數學燈謎

元宵佳節，讓我也來湊湊興，來個燈謎，全部射數學名詞：

1.郵費；
2.祖訓；
3.美顏大忌（諧音格）；
4.搶手照相；
5.員；
6.二牛打架；
7.致病者（中英格）；
8.謊話連篇（中英格）

『中英格』是我自創的名詞，指經“中文→英文→中文”的過程。

例：約會，射食品，中英格

答案：棗（解：約會→ date →棗）

以上燈謎其中除５，６外，皆是拙作，煩請賜教。

有朋友謂當中數學名詞太難，不適合作燈謎。我想同理，現今《大學》、《論語》等文章也不宜採用。

不過有時或者應弄弄花巧。怱然想起：王安石的「明月枝頭叫，黃狗臥花心。」給蘇東坡改成「明月當空照，黃狗臥花蔭。」後者似乎更言知成理。但原來王安石的「明月」是一種鳥，「黃狗」是一種蟲　－　他的詩故作玄虛卻另有一番奇趣！

不過我想沒人用明月鳥及黃狗蟲作燈謎。不知兩者的學名是甚麼？

燈謎謎底：1.函數　2.公理　3.面積（面漬）　4.映射　5.圓心　6.對頂角　7.矢量（vector）　8.李群（Lie group）

失敗的上一篇

上一篇其實非常失敗，剎那的衝動寫下標題。

原以為找０＝１不難，怎知所想到的例子原來都是 f(1)=f(0) 的函數而已。

想勉強把『無陰功＝陰功』，『好不容易＝好容易』加上去，把似乎這只是『無＝有』。

當然把《道德經》拉進來，可能有：０＝無＝道＝有＝１。但這似乎不太道德。

再加上www.blogger.com原來還未支援mathml，不容易輸入數學符號，更使我寫得意興蘭珊。

不過既然已開了頭，又不想放棄，最後還是把那篇不成氣候的文章發表了。

希望之後再也沒有這麼失敗之作！

－－－－　立此存照，以作警愓！

無性或單性？

無性繁殖＝單性繁殖？沒有雄雌的生物，是無性抑或單性？

其他“０＝１”的事。

０！＝１！

0 × 0 × 0 ... × 0- 0 = 1 × 1 × 1 ... × 1- 1

lim_{x → 0+}x ^x=lim_{x → 1+} x ^x

我的第２篇

有朋友云，《我的第一篇》並非名實不符，皆因這是今年二月的第一篇。

如是，《我的第２篇》是《跨物種婚姻》後的第２篇，也非名實不符。

『減肥茶』或『瘦身套餐』起碼可以令你的荷包減肥瘦身。

『無敵海景』往往並非說謊，只是錯别字，應該是『無滴海景』！

『天下烏鴉一樣黑』的「天下」是指「沒有白烏鴉的地方」。

『貓有九命』中的「命」可定義為一隻貓生命中九分之一的時間。

『鉛筆』起碼不是鋼筆！

『灌湯餃』不過是把最後兩字倒轉來讀，即『灌餃湯』是也。

總之，有名無實，可能只是觀點與角度而已。

多性戀

有沒發覺，科幻小說中的外星人，要麼是單性（以至要研究地球人的兩性生活！），要麼也是兩性（這是和地球人發生戀愛的條件）。

為甚麼外星人不會有比地球人更複雜的愛情生活？不會有三性，四性，甚至更多？

一個可能是，科幻小說作家的想像力掌握不了多性生活！這也難怪，人是很難想像未見過的東西。

世上有否多性生物？有，但不是動物，而是真箘！據真箘專家Tom Volk在2000年情人節前後一篇關於真箘性生活的文章 http://botit.botany.wisc.edu/toms_fungi/feb2000.html 所載，世上有一種名為裂褶箘（Schizophyllum commune） 的常見真箘共有超過28000種性别！

該篇文章是為情人節所寫，正好現在拿來討論（:p）

裂褶箘，相片來源：OSU

多性真箘的性别基因都是一對兒，一記作Ａ，一記作Ｂ。不同的Ａ或不同的Ｂ都定義出不同的性别，如 A1B1，A1B2，A2B1，A2B2就代表不同的四種性别。兩個同類真箘要結合，就要Ａ及Ｂ皆不同，如 A1B1與 A2B2，及 A1B2與 A2B1。

裂褶箘有300多種 A 及90多種 B，怪不得有如此多性别；而每種性别可與超過27997種其他性别結合，性生活夠多姿多采罷！

人類只有兩種性别就有這麼多事，試想像若人類有這麼多性别，是甚麼光景！？

不過我不會想這個太多了，現在要想想怎樣過情人節，嘻嘻。

跨物種婚姻

注意：標題是『跨物種婚姻』，不是『跨種族婚姻』。

在神話小說裡，這種事很多，但動物多要先化為人身。如《聊齋》中有人狐成婚，《白蛇傳》的白素貞（蛇妖）與許仙等。成語《南柯一夢》中淳于棼成為蟻國駙馬亦在此列。在現實中，有與生雞拜堂，但這只是以生雞作代表而已。人與獸的結合，當然被視為不道德。

在科幻小說裡，似乎所有高等生物都可以相戀、結合、生育，如《龍珠》中的地球人和撒亞人，《星空奇遇記》（Star Trek）中的地球人與克林貢人（Klingon）。可以知道，若他日真的有外星人來，與人類的生理結構差異太大，結婚生子的機會微乎其乎！

在大自然裡，不同物種幾乎都不可能結合。即使人工環境內較接近的物種能結合，生下的孩子極有可能不育，就如虎與獅所生的獅虎（虎父獅母）或虎獅（獅父虎母），及驢與馬所生的騾。這些雜種的誔生，亦被動物權益者視之為不道德。

穩定婚姻

女人甲喜歡男人乙甚於她丈夫，男人乙亦喜歡女人乙甚於他妻子，容易發生婚姻問題！

所謂預防勝於治療，婚前沒有揀錯，才是最好。

對於適婚男女比例１：１的社區，有個好辨法：「每一回，未有婚約的男人輪流向未曾拒絕過他的最心儀女子求婚　－　若女子未有婚約，就要答應；若女子有婚約，但認為男人比未婚夫要好，則可以悔婚。」（見例子）

這個是『穩定婚姻問題（stable marriage problem）』其中一個數學解，但現實那有如此兒戲；就算這方法可行，誰能保證人的喜好不會隨年月而變，婚後也可變心！

不過，這個方法主要是用於僱員與工作配對，這倒不用長相廝守。

例 子：以下社區，有男人A，B，C ，D及女人a，b，c，d。A認為 a>b>c>d，B認為 a>b>d>c，C認為 c>a>b>d，D認為 a>c>b>d；a認為 B>A>C>D，b認為 B>C>D>A，c認為 A>C>D>B，d認為A>B>D>C。（＞當代表更好）

第一回：A向 a 求婚，a答應；輪到B向 a 求婚，a 認為B比A好，改與B訂婚；輪到C向 c 求婚，c答婚；最後D向 a 求婚，a拒絕。結果，A和D沒有婚約。

第二回：A向 b 求婚，b答應；輪到D向 c 求婚，c拒絕。結果，只有D沒有婚約。

第三回：D向 b 求婚，b 認為D比A好，改與D訂婚。結果，A再次沒有婚約。

第四回：A向 c 求婚，c拒絕。結果，A再次沒有婚約。

第五回：A向 d 求婚，d答應。結果是，A 配 d，B 配 a，C 配 c，D 配 b。

這樣子，文章開首的情況不會發生。

高智求愛？

數學家，邏輯學家，兼迷語大師 Raymond Smullyan 在作品 Some Interesting Memories: A Paradoxical Life 中提及追求他太太 Ilsa 的經過：

首先，向當時新相識的 Ilsa，提出簡單的要求　－　『我把預測寫在紙條上。若我猜對，妳給我一個簽名；若我猜錯，就不用給。可以嗎？』　－　這樣簡單，沒理由不答應！

然後，遞上預先準備的紙條，上寫着「妳不會給我簽名，也不會給我一個吻！」如果 Ilsa 不想送吻，會出現兩種情況　－　若她不給他簽名，根據協議，她就要給；若她給他簽名，根據協議，她不用給　－　必然出現矛盾。要沒有矛盾，Ilsa 唯有送吻！

據說當時 Ilsa 真的送吻。但當然囉，世界這麼多矛盾，多一個不算多，若 Ilsa 沒有意思，做甚麼也沒用！

給初學數理邏輯的朋友：若把 p 代表『簽名』，q 代表『送吻』，則整個命題是 (~p∧~q)↔p 等價於 q。

數學情歌

在2003年美國五個無聊的學生組成合唱團 The Klein Four Group，
http://www.math.northwestern.edu/~matt/kleinfour/。他們的情歌，用大量語帶相關的數學詞匯，非常有趣。他們的歌先在網上流傳，出乎意料受歡迎，並於去年十一月輯錄成唱碟。（是否想起 Kellyjackie？兩者同時紅得上 Wikipedia！）

當中較有名的歌包括 Finite Simple Group (of Order Two)，中文譯名可以是

簡單的一對兒　－　誰也看得明白罷？

或

有限簡單二元群　－　這是個純數學譯名，其實就是０與１（０＋０＝０，０＋１＝１，１＋０＝１，１＋１＝０）。

歌詞中的 path, smooth, simply connected, function, forgetful,等等，全都有特別的數學意義。有評語云：不知他們唱甚麼，好像是數學，但最緊要好玩！

事實上 The Klein Four Group本身就是如下一個數學物件！（可查看Wikipedia）

*	1	i	j	k
1	１	i	j	k
i	i	1	k	j
j	j	k	1	i
k	k	j	i	1

我的第一篇

歡迎閱讀《我的第一篇》。這不是我的第一篇？啍！我喜歡改這樣名實不符的標題。

名實不符的稱謂很多：

『第一屆立法會』，其實是第二屆立法會，但因政治故意把第一屆喚作臨時立法會。

『都會駅』，不是在日本的車站，其實是在香港的樓盤。

『星洲炒米』，『楊州炒飯』，及『french fries（薯條）』的地名，都不是真正的原產地，純是標搒外來貨而已！

『臨時房屋區』，臨時了超過十年。『地下鐵路』原先真的全在地下。沙田的『海旁道』，在海邊嗎？

魚，在古代泛指一切海中生物，但在現代生物學中卻有特殊定義，是以『鯨魚』，『星魚』，『八爪魚』等，在今天變得名實不符。同理還有不是樹的『香蕉樹』及『鐵樹』。

當然還有不是鉛做的『鉛筆』，有花的『無花果』，及沒有錫的『錫紙』。