難與深

朋友說我近期寫的太難太深，這可是我的老毛病。

不過，這也是數學的問題。

我寫的，只算是現代數學基礎，但基礎不等於容易。

情形等於：化學的基礎在原子，物理的基礎在能量，經濟的基礎在交易資本。

科學之所以難，因為學習的起點是在中間出發，而不是由基礎結構開始。原因是基礎構不能通過感觀接觸了解。一個學術的基礎結構並不是該學術的基礎學問！

一個永恆的教育難題，是在甚麼時候開始教導教基礎結構。

數字是個遊戲

『數字是個遊戲。』誰人會說這樣的話？

一個見慣風浪，歷盡起跌的股壇老手？

一個不負責任，專個假賬的會計敗類？

一個腰纏萬貫，勝負等閒的商界巨賈？

一個強作瀟洒，生活平實的過氣富翁？

一個活動教學，負責數學的小學老師？

若通通不是，可能這人是個研究組合遊戲理論的數學家。

組合遊戲理論是研究純技術的博奕遊戲，例如圍棋、象棋、拿火柴遊戲。麻將、飛行棋、天九等不在其研究範圍；橋牌、鋤大弟、十三張等也不在其研究範圍－－因要猜對方手中的牌，也有運氣成分。數學家主要是研究二人博奕。

Ernst Zermelo (1871-1953) 率先證明所有二人博奕都應是早知結果的！要麼是先行者有必勝（應是不敗）策略，要麼是後行者有必勝方法，這當然視乎是何類遊戲。（見〔１〕）

約翰．康威（John H. Conway）提出了個有趣的定義：一個 (L|R) 是個遊戲如果 L 及 R 也是個遊戲－－這定義可用於尋找必勝策略。他與兩位重量級人物在著作《穩操勝券（上下冊）》（Winning Ways for your Mathematical Plays）有講述這定義的應用，這本書在一般書局有售。

若然限制 L < R（何謂大小，這不贅），就是超實數 surreal numbers，一種包含無限大及無窮小的數字系統！這個慨念是建基於Dedekind cuts，本來用於透過分數定義實數。

所以，『數字是個遊戲。』可是有真正數學意義的啊！

超越現實的數

不懂數學的人， 可能也會接受無限大及無窮小；反而對數學家，接受無限大及無窮小會有邏輯上的問題。

當Abraham Robinson成功創造出包含無限大和無窮小，且邏輯上可行的數字系統，在數學界產生頗大迴響。這系統是 hyperreal numbers。最簡單的解釋，系統內每個數其實是個數列－－7 是 (7,7,7,...) 而 -8 是 (-8,-8,...,-8)；無限大是不斷增大的數列，如 (1,2,3,4,...) 及 (1,3,5,7,...) 便是兩個無限大；無窮小是愈來愈接近０的數列，如 (1,1/2,1/3,1/4,...) 及 (1,0.1,0.01,0.001,...)便是兩個無窮小。當然還有其他理論上的限制。

稍後， John Horton Conway發明了另一套數字系統，也包含無限大和無窮小，產生的不是迴響，而是震撼！這系統是 surreal numbers。Conway 運用了載得金分割（Dedekind cuts）的意念，成功的把現代數學中多個不同的範疇（實數，序數，組合理論）連繫起來。很難三言兩語說明 Conway 的理論解釋，但可以說的是，他證明了『數字是個遊戲』！事實上，Conway 發展這理論真的是要研究一種遊戲－－我國的國技『圍棋』！！！

可能是遺撼，兩者的中文名稱都是超實數。還有另一個超實數 superreal numbers，是 hyperreal numbers 的再擴張。

某程度來說，日常生活中或許不會遇到這些數，超實數可謂名副其實；但從數學上而言，超實數與實數同樣真實。

虛與實，數系的發展

上古時，人只懂１，２，３，．．．－－這是他們的數。

然後，他們需要細分物件，於是出現分數，即兩數之比 a/b－－他們認為原先的１，２，３，．．．才是實在的數，現稱自然數。

然後，有些數量（例如某些長度），是不可以寫成分數－－他們（古希臘畢達哥拉斯學派）認為原先的分數才是實在的數，而新發現的數是假的數，傳說中他們甚至殺死Hippasus（第一個發現無理數的人）。分數的希臘文λογος ，意為「成比例的數」（rational number），中文錯譯為有理數，沒理由的數，但這與古希臘人的想法暗合。新發現的數，即「不成比例的數」（irrational number）被譯為無理數。

然後，在尋找多項式 a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ=0 的根，不可避免遇到負數的開方－－他們認為原先的數（不論有理數或無理數）才實在，是實數，而負數的開方是虛無的數，即虛數。實數與虛數相加，稱為複數。

但後來發現：複數 x+√-1 y 可看作平面上的一點 (x,y)，是個二元的數。由此看來，複數非常實在。

數學家開始放開虛實的迷思，得出四元數、八元數、p-進數、超實數、超複數。

但『數』是甚麼？在乎你需要甚麼！

虛（數）與實（數）

以下是兩個常見的數學謎語：

1.　背着喇叭；
2.　大夫診症；

謎底稍後揭曉。

在中學時期，我們知道 ax² +bx+c=0 的兩個解可表達成 (-b ± √ (b² -4ac))/2。

原來 ax³ +bx² +cx+d=0 的三個解也有一般表達式，最簡單的一個是


這個解在十六世紀時經已被發現，但卻出現了個問題：考慮 x³ -15x-4=0，它的所有答案是 -3.73, -0.26, 4。若用以上的算式，卻出現不知所謂的 √-109（用計算機試試，九成會送你一個 Error），這條算式似乎用不着！

數學家的解決方法很簡單，首先讓 √-109 = i √109 （這裡i=√-1），然後把i當作一般數字來計，最後所有i會相互抵消！但如 i √109 般的數，令人感覺虛無飄眇，故稱作『虛數』。

這時，人們倒過來說一般的數字是『實數』，即是實在的數。

但正如自然數並不比其他數自然¹，實數的『實』和虛數的『虛』相差其實不大。若考慮二維平面，實數與虛數只是橫軸與縱軸之分而已！

這平面稱作複平面，上面的每一點(x,y)代表着x+iy，喚作複數。由此，二維的數出現了，標誌着數字家族新的一頁。在複平面上，『任何複數都有平方根』（e.g. √-4 = 2i，√(2i)=1+i，√(3-4i)=2-i）²，並有着很多不可能在實數出現的特性。

謎語答案：1.　負號；2.　開方。

正數加上負號再開方，便是虛數！

註１：請參看《自然的數？》。
註２：開方只取“正值”，如√4＝2但4的平方根是 ±2，這兒 -4 的平方根是 ±2i，2i 的平方根是 ±(1+i)，3-4i 的平方根是 ±(2-i)。

天與地，大與小，冷與熱

『道可道，非常道；名可名，非常名。』－－這是《道德經》 的第一句，亦是最耳熟能詳的一句。我想說說：名可名，非常名。

若我們的祖先把「天」喚作「地」，而把「地」喚作「天」，那未現在便會是“地在上，天在下”了。相類的情況是，不同是事物，喚作一樣的名稱，如「天花」是指一種傳染病或是指屋頂底部，所以要清楚名字背後的意義。

原來，這是學生學習數學的一個大障礙！

名稱的改變：－

首先是代數，是以符號代數字，從而達到一般化的運用。卻出現明白3×(4+2)=3×4+3×2，卻不明白 x(y+z)=xy+xz。

然後是最優化，教了學生怎樣求得最大值，他們卻往往未能舉一反三地求出最小值。大與小，很多時只是換個名稱而已！

定義（含義）的不同：－

首先是關係，不同的場合，大小的定義可能完全不同。一般來說，我們會說 4>2>1>-3；但這並非絕對！

在玩橋牌的時候，我們有1>4>2；在玩“鋤大弟”的時候，我們知道 2>1>4。但若我們不提橋牌，不提鋤大弟，而只說 1>4>2 或 2>1>4，學生會頓時不知所措！！！

在物理學中，若以 K 為温度單位，負温度會比正温度為熱。若以>表示比較熱，則有-3>4>2>1！

然後是擴張，隨着認知深化，需要擴張定義符合實況。在初學複數時，學生仍會給舊認知 “沒有「數」的平方是負數” 所跘着，不理解「數」的定義已改變。

在高級代數書中，a1=a=1a並不單是表示數的乘法（a× 1=a=1× a），亦可表示數的加法（a+0=a=0+a），用意是把「乘法」擴張以覆蓋所有性質相近的運算，減省研究的重複性。可想而知，學生多數未能了解。

在中學物理學中，我們是以温度定義冷熱，但大學時，我們以能量流向定義冷熱。

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在文學中，「名」也有難題。在一些文化中，一個人往往有着不同的稱謂，或者一個家族不同人有相同的名稱，令記性不大好的人（如在下）難於閱讀相關傳記或小說！

例如，三國演義中，一人往往有着三個或以上的稱呼，如諸葛亮，字孔明，號臥龍先生；

又如世界首富比爾蓋茨（William Henry Gates III）的父親也是比爾蓋茨（William Henry Gates, Sr.）!

科學與文學中的「名」已這麼難掌握，更何況哲學中的「名」？

『熱』極必『冷』

當數線兩端相接，正的盡頭便是負，有中國哲理「物極必反」味道。

物理學上，也有一個古怪現象：若温度不斷提高，在超越無限高温後，温度會變成負數！看來也真有「『熱』極必『冷』」這回事！

但不要給字面騙了，負温度其實比正温度更“熱”！

科學家量度氣温，不是用攝氏 °C 或華氏 °F，而是用開爾文溫標 K。0 K，相當於 -273.15 °C，稱為絕對零度，是低温的極限，一切動能將會消失； 然後1 K = 1 °C，遂級而上，冰點是 273.15 K，太陽表面是 5780 K，太陽中心是 1.3 × 10⁶ K，黑洞温度是1.4×10³² K。

但甚麼是温度？有一個不太簡單的定義是：温度＝熵（混亂程度）的變化／能量的變化。一般而言，能量的增加會導致熵的增加，因而有正數的温度；但在某些狀況（最混亂時？），能量增加反而導致熵減少，所以出現負數的温度。

甚麼是冷熱？這是相對的，能量是由較熱處流向較冷處。因為能量會由負温度處流向正温度處，所以負温度比正温度更熱！

當然，我們仍可以用温度的高低來定義冷熱，我們仍可以說「『熱』極必『冷』」，但卻失去如能量流動般的重要物理意義。

無窮的小

恒古以來，人類便為着物質是無限可分，或有終極結構爭論不休。

古希臘的原子論認為物質是由最小稱為『原子』的東西構成。伴隨着現代化學的誔生，某程度上肯定了原子論。

但化學中的原子，物理學卻仍可分割下去，得出常見的電子、質子、中子，以及μ子、π子、W子、Ω子等等；超弦理論認為還可再分下去，直至達到所謂的超弦結構。

超弦是大小為普朗克單位（Planck units）的物理結構；而普朗克單位，被視為是測量的下限。在普朗克時間（5.39121 × 10^-44 s）及普朗克尺度（1.61624 × 10^-35 m）內，前與後、左與右亦沒有物理意義。

當前最heat的topic，即納米技術，是以納米（1 nm= 10^–9m）為基礎的技術，其實在物理學中不是太小。

普朗克尺度非常小，比佛家的“刹那”還要小，但始終是有限的小，不是『無窮小』。無窮小，是個大於零卻小於任可正數的量，給人難以捉摸的印象；事實上，當數學家最初使用無窮小時，亦困於其邏輯難關，但仍決定實用先行。

當時有名的思想家貝克箂主教對無窮小的應用，作出頗嚴厲的批判；稍後數學家找出方法，可以繞過無窮小，亦令無窮小的議論趨向沈寂。

上世紀中期，Abraham Robinson提出新的數學系統－－超實數系統（hyperreal numbers)，包含了不同的無限大及無窮小，而且解決了邏輯問題。但沒有無窮小的數學已是主流，新的數學被稱為『非標準分析學』。

在超實數系統中，0.999..... ≠ 1！！！兩數的相差，便是個無窮小。

無限的大

在 《零與空》中，我說把０看作一個空的袋子，而不是空，可把形而上學的味道減至最小。朋友笑說：若是個無限大的袋子，那未不是和虛空一樣嗎？

當然，整個宇宙根本不是無限大，所以沒有無限大的袋子。

其實，『無限大』是甚麼？有信仰的人士可能會說他的神就是無限大，但科學的應用需要的是世俗的無限大。康托爾（Georg Cantor）率先對數學上無限大下定義，並由此創造出集合論。

不同的宗教有不同的神，即使同一宗教也可能有不同等級的神。

除着研究的深入，數學家發現不同的系統有不同的無限，即使同一系統內也可有不同大小的無限。

讓我們先看看康托爾的無限，即由比較多少引申出來的無限：

在《自然的數？》中， 我說 0={ }，1={0}，2={0,1}， 3={0,1,2}，4={0,1,2,3}，．．．。可以見到 0 <1 <2 <3 <4 <5 <...。把所有自然數放在一起，有N={0,1,2,...}，得0 < 1 <2 <... <N。

把整條數線列出來（記作ｃ），除自然數外還有很多數字，所以 N < c。 c 當然也是無限。

就這樣，可看到有兩個不同的無限。當然，還可以不停引申下去。

接着，讓我們看看由數字大小引申出的無限：

我們最熟悉的無限莫如 ∞ 及 -∞，是甚麼呢？基本上，這只是兩個符號，∞ 表示比任何正數都正，-∞ 表示比任何負數都負。它倆都不是數，因為不能進行四則運算。而 ∞ 及 -∞ 是數線的兩極，直如祆教中陰陽兩個神衹，有你冇我！


不過若我們把正無窮與負無窮都看作是同一個無限 ∞ ，我們得到一個環，稱為數線的“一點緊化”（one point compactification），就有些中國哲理「物極必反」的味道，因正的盡頭便是負！雖然 ∞ 也是一個無限，但與其他數字都只是環上的一點，失去了某些特殊性。


把無限賦與一般數字性質的是Abraham Robinson，他的系統內有無限個無窮大，若 x，y 是不同的無窮大（即比所有數字都大），則x+2，3y，x+y等，都是不同的無窮大；而-x，-y則是不同的負無窮大（即比所有負數都負）；1/x，1/y則是不同的無窮小（即不是0，卻比所有正數都小）。

唔，不論任何情形，都沒有1/0啊！所以盡量不要說1/0=∞！

自然的數？

數是甚麼？由遠古開始，１、２、３、．．．分別是一種東西、二種東西、三種東西．．．的量化詞，所以這些才是一般人心中的數。但隨着小數，分數等出現，我們把１、２、３、．．．稱作自然數，即這些才是自然出現的數。

但數學家需要更堅實的定義。

在《萬『數』皆『集』》中，我說每個數都是一個『集合』－－可以看成一個袋子。０是空空如也的袋子，１是載着一件東西的袋子，２是載着兩件東西的袋子，如此類推。

０是空空如也的袋子，記作｛｝。

既然１是載着一件東西的袋子，內裡的東西是甚麼呢？一個包、一件衫、一張相？都可以，就如西施狗、牧羊狗、狼狗都可以代表狗。於是１可以是｛包｝，可以是｛衫｝，可以是｛相｝，但也可以放進一個０，即｛０｝！

如此類推，２載着０及１，記作｛０，１｝。３是｛０，１，２｝，４是｛０，１，２，３｝，５是｛０，１，２，３，４｝。

這樣，可以不假外求，完全在數學內定義出所有０，１，２，．．．。這些數，是其他數的起點，就是自然數！問題出現了，０似乎不那麼『自然』，它由誔生至被接受成數字需要經過數百年，怎看也不自然吧？！

現在，若把０當自然數，便把１，２，．．．稱為正整數；若不把０當自然數，便把０，１，２，．．．稱作非負整數。夠混亂了罷！

不過１，２，．．．也並非真的這麼自然，亞馬遜河居住的Pirahã族人，其語文根本沒有數字慨念！－－數，既然不是必需，或者根本不能說自然！

或者『自然』也是相對的，一些人的自然是另一些人的不自然。

一個數學故事

在某年某月某日，有兩位學者大膽猜測宇宙中存在一個巨大的怪獸群。要證明他們的猜想，展開了漫長的時空搜索。經過多年的努力，他們穿越了一個一一六八八三維的空間，並成功找出了怪獸群，震撼國際。怪獸群果真異常巨大，內個體數目以億兆計，難以作簡單的描述。

後來，有人認定這怪獸群與傳說中不可思議的『怪異月光』有關，又開始了一個大規模的探索。經過不少的艱辛，流過不少汗水，終於有一天，探究者發現了傳說中的『怪異月光』。

多年後，有兩人在討論怪獸群．一個讚嘆道：『這個怪獸群真是不簡單！』另一人搖頭笑說：『不！這個怪獸群真是簡單！』

故事完。

問：為什麼這是一個數學故事？　如果你還在求學，問問你的數學老師。他可能答錯，但不要取笑他，這可不是個容易答的問題啊！答案如下：

一群怪獸，但不是一個『怪獸群』:P。

群 group 是一個數學結構，擁有乘及除兩種運算。群內有群稱作子群 subgroup，沒有所謂正規子群 normal subgroup 的群就是簡單群 simple group。簡單群的結構一般真的簡單，除了廿六個奇怪簡單群（名為零散群 sporadic groups）之外。

兩位數學家Fischer及Griess在1970億測哪個是最大的零散群，將之定名怪獸群 Monster group。七年後終於證實怪獸群的存在，構作方法是利用一個196883維的代數空間。這個怪獸群有8 × 1053個“元素”，真是非常巨大。

怪異月光 monstrous moonshine 是關於怪獸群的另一個特性，即使研究者亦以「怪異」稱之。由Conway及Norton在1979年提出，在1992年被Borcherds證明──Borcherds亦由此獲得數學界最高榮譽菲爾茲奬。

怪獸群毫不簡單，但它畢竟是個簡單群呀！

偽學問：是與非

剛拜讀田松博士的《永动机与哥德巴赫猜想》 ，描述的是全世界科學家的一個惡夢：『民間科學家』。

民間科學家是指一些沒經過正統訓練，以貧乏的知識及不成熟的邏輯思維，希望得出對世界具影嚮力的重大發明。他們嘗試制造永動機（幾乎是無中生有的得到能量），三等分任意角（以知不可能的古希臘數學題），及證明哥德巴赫猜想（當令最知名的數學難題）等等。他們即使無數次被科學家指出其錯誤，但仍頑強地研究，並把批評視為無知或打壓。

民間科學家大多是獨立研究，帶着孤獨前鋒的悲壯；但亦有一些得到廣泛支持，結果發展成偽科學（如雙氧水治病，“神化了的”氣功等）。

當然也有一些因為名氣、金錢、宗教等原因，故意推出違背一般科學知識的理論：如莫札特效應，智慧創造論，採光美容等。事實上，這類偽科學的受支持程度，甚至超乎正統科學。

除科學以外，還有很多相似的情況：有人提出中國人先發現新大陸；工會分子積極挑戰經濟學家的理論；不知所謂的行為藝術家。

不過對這些另類理論的支持者，我們反而是頑固的一群。當是與非的感覺倒置了，是與非真的倒置了麼？

絕對與相對

朋友在他的《絕對與相對》，又提出「是」一字可產生的問題。奇實自公孫龍白馬非馬以來，關於「是」「非」的語意岐義，已分析過何只千萬次！

科學上，需要嚴防岐義，所以要創造一些符號語言，可算是人類第一套沒有讀音的文字。

「一支筆是文具」：一支筆∈文具；∈表示「其中一個」。

「筆是文具」：筆⊆文具；⊆表示「其中一種」。

「文學創作工具是文具」：文學創作工具＝文具；＝表示「等如」。

「百無一用是書生」：百無一用（的東西）⊇ 書生；這其實是倒裝寫法，我懷疑「佛教是文學，哲學，科學」本應寫為「文學，哲學，科學皆是佛學」。

「強人是你，能頂天立地」：強人∋ 你；這也是倒裝法。

當然啦，「是」還有其他用法。

「是其是」：第一個「是」意思為「贊成，支持」，第二個「是」意思為「正確的事」；全句為「贊成正確的事」。

當然啦，此乃我極膚淺的分析。很多時候，文學作者故意利用模棱兩可的觀念創作，這也算留白罷！

或者正如我朋友所說，不要時常太執着於正確的意思：世上多數東西都只有「相對正確」，沒有「絕對正確」。

意大利粉神教

原教旨基督教的最大對手是誰？

原教旨回教徒？不是，他們沒有像美國般的超級大國撐腰！

其他的基督教派？這不算對手罷，頂多只是教義詮釋不同而已！

告訴你吧，是意大利粉神教（Church of the Flying Spaghetti Monsterism）。噢，未聽過？它的每個教義都衝着神創論（Creationism，新稱智慧設計論 Intelligent Design）而來。

據說每個支持智慧設計論的證據，都可以支持意大利粉神教。

該教派已向美國各州政府發公開信：美國學校的生物科若要教授智慧設計論，作為進化論的代替理論，則應同時教授意大利粉神教。

若閣下已開始厭倦『訓教』，是時候考慮意大利粉神教，總比信飛碟教（真道教）好，起碼不用作出金錢奉獻！（哈哈！）

註：若此篇文章令基督徒感覺冒犯，請多多吃意大利粉及多多包涵！

科學與宗教

語文是非常奇怪的東西，同一句說話，可以有極端不同的意思。

在上一篇我認為可以說「科學是佛教」，不可以說「佛教是科學」；我的朋友旋即撰文反對，但似乎只是誤解。

他認為科學是佛教的一部分，並非全部，所以不好說「科學是佛教」；但「白馬是馬」，「西施狗是狗」，「量子力學是物理」，其中的「是」都意味着「部分」。

他認為「佛教是科學」並無不妥，而且佛教同時是文學及哲學；但他心中的「是」意義是「包容」，不過我也聽過一些信徒說「因為佛教是科學，所以可信」。

心境不同，層次不同，使得一句說話有不同的意思。

宗教與科學的關係，千絲萬縷：化學源於煉金術，天文始於星相學，宗教可促進科學；教廷曾封殺日心說，全屍觀念不容解剖學，宗教亦可扯科學後腿。找出平衡絕非易事！

若一些科學理論與宗教觀念不相容，提倡者經常被斥為異端。例如：進化論者常被原教旨基督教徒視為無神論者，雖然有不少進化論者是基督徒（參看www.talkorigins.org）。

真正視科學為絕對的應是唯物論者，他們認為心靈也是由物質所決定。當然唯物論也可算是一種信仰。

不要混淆科學教派（scientology），它的教義雖說相信科學，但它所相信的“科學”被多數學者歸類為偽科學！