親疏如何有別？

親疏有別？當然啦，愈親疏的關係，在搜集資訊及履行合同的成本，相對較低。但亦正因如此，取消不合效益的合同，亦相對較難。

有多少企業因親友幫助而起家，卻因用人唯親而衰落？找出平衡點，是不容易的。

中國人的『關係』，是把親疏有別的經濟效益極大化。奇怪的是，美國人也有這樣的事，卻要用『關係』的拼音guanxi來表達。

那麼，怎樣可把『親疏有別』量化？一般而言，兩人愈疏遠，則量化後的距離愈大。

最簡單的，是以互相認識為基礎。若甲與乙互相認識，他倆的距離為１；若甲與乙不相識，但兩人同時認識丙，則甲與乙的距離為２；若甲認識丙，丙認識丁，丁認識乙，則甲與乙的距離為３；如此類推。社會學家Stanley Milgram進行實驗，發覺最遠的距離不超過６。這是個很有趣的人際關係遊戲：隨便找兩個人，看看他們的距離為何？

當然，以上的距離是非常粗糙。同是朋友，點頭朋友或同窗密友自是大不相同。因此要定義新的距離，即以兩人生活圈子多少重疊作計算。若考慮的不是人與人之間的關係，而是網址與網址之間的關係，得到的是以超連結計算的排行傍，當中最有名的要算Google的PageRank。

數據挖掘（Data mining）就是嘗試把不同資料的潛在關係找出來。利用數據挖掘來對人作出分析，是現代社會學研究的一個方向。有報導指美國國防部有收集國民的通訊摸式是以分析，希望找出恐佈分子的溝通模式。成功與否，不曉得，只覺有點《一九八四》味道。

有時候，我們會希望找出兩人某方面的親疏關係。若把之前簡單距離的計算，由相互認識改為有共同文章發表，則可表示二人的學術距離：Erdős number就是數學研究員與多產數學家Paul Erdős的學術距離。

在現實中，互不認識的人可能比互相仇視的人更加親近。又或者親近的感覺並不是雙向的，就如暗戀。若考慮這些，便可能得出更複雜但更準確反映親疏的距離。

排隊日中環

２００６年３月１９日，文化遺產中區警署第一次開放，超長人龍龍尾過了鴨巴甸街，接近我家樓下：

情陷夜中環

早看，是兩支駭人的牙簽；晚看，是．．．？

丹布朗福音

一日丹布朗在家中沈思。突然，電腦顯示器閉出一道耀眼光芒，而擴音器傳出一把雄渾聲音：『丹布朗，丹布朗，聽我說話！』

丹布朗嚇了一跳，問：『誰在叫喚我？』

『我是抺大利瑪利亞的天主，主業會的天主，達文西的天主，騎士團的天主！』

『我的主啊！您要我幹甚麼？』

『我要你把所有的傳說，包括抺大利的瑪利亞與耶穌結婚生子，主業會的謠言，達文西是郇山隠修會成員，騎士團發現耶穌後裔，等等，寫成一部小說！』

『我的主啊！為甚麼？難道這些都是真的？』

『丹布朗，你先答我，你做得到嗎？』

『我的主啊！我可以加上尋寶、暗殺、陰謀、愛情，寫成一部小說。但情節是頗為老套的。』

『老套沒問題，你的小說將會成為震撼！』

『我的主啊！這樣我將受到教會攻擊，那我會得到甚麼？』

『你會如猶大一樣，受千萬基督徒咒罵！但你會名成利就，影嚮力遍佈全球！』

『我的主啊！我願意為您服務！』

『丹布朗，我的忠僕，你還有甚麼問題？』

『我的主啊！為甚麼要寫？難道這些都是真的？』

『真與假沒關係，我要看看信徒的信德，看他們是否因小說動搖，看他們是否因小說大驚小怪！』

『我的主啊！我明白了！我這就去寫。』

『丹布朗，我的忠僕，我祝福你。』

原來這就是《達文西密碼》的因由，阿彌陀佛！

外判的原罪

兩個菜檔，產品一樣，但價錢不同。我們自然會購買較便宜的。

兩間公司，服務一樣，但收費不同。我們自然會幫趁較便宜的。

兩位工人，質素一樣，但薪金不同。我們自然會僱用較便宜的。


有甚麼問題？

轉過方式：

我們本來已採納一個菜檔，一間公司，一位工人。

忽然有新菜檔，產品一樣，但價錢較低。我們應否轉換菜檔？

忽然有新公司，服務一樣，但收費較低。我們應否轉換公司？

忽然有新工人，質素一樣，但薪金較低。我們應否轉換工人？

若只談經濟，一切好辦（註１）。但，我們對原有的菜檔，公司，工人，有否道義上的責任？

不過甚麼是道義？

有說，美國商人把工序外判給中國，而不留給美國人，是不道德的；而然，把工序外判給數千個中國的貧窮工人，而不是數百個美國工人，不是更加的功德無量嗎？

同理，把香港的職位，給予同是中國人的大陸同胞，為甚麼是沒道義的呢？

說到底，就是『親疏有别』，把自家（包括舊伙伴）的工作外判給他人，就是外判的原罪！

註１：所謂經濟，並不是只看賬面，還要考慮其他可能情況。例如：一、外判後水準下降，短期賬面之得不及長期口啤之失；二、部分工作外判，弄至人心惶惶，反而影嚮生產力。做管理，可不是容易的事啊！

策略的作用

今天聽過諾貝爾得奬人Robert J.Aumann的演說，題目為『戰爭與和平』。說的是，短期的合理行為，長期未必是最好。他用的是以下例子：

	乙：忍耐	乙：鬥爭
甲：貪婪	20,0	-1,-1
甲：公平	10,10	-1,-1

驟眼看來，若甲貪婪而乙選擇容忍，便是一個平衡。因為沒有一人單獨改變會有更好結果。但如果情況是不斷出現，乙可以用兩敗俱傷的策略來迫使甲公平行事。

且容我用出名的囚犯困境（Prisoner's Dilemma）也來說一說：

	乙：忍耐	乙：戰爭
甲：忍耐	10,10	0,20
甲：戰爭	20,0	-1,-1

若一人戰爭而一人忍耐，發動戰爭者便會得到最大利益，結果是兩人都選擇戰爭，得出最壞結果！但如果情況是不斷出現，一次突襲的甜頭會被將來的戰爭抵消，所以較好的策略是不作發動戰爭者！

阿聯酋的外交官，向猶太裔的講者問及以巴沖突時，得到的答案是：以色列國內的Please Now行動，用意需好，但欲速不達。我想他的意思是，既得利益者的反彈，和得寸進尺的對手，把這個意願扺消了。冀求立即和平並不是正確的策略。

同日另一位講者，也是諾貝爾得奬人Robert A.Mundell，亦說：中國沒有以零通脹作目標，反而平衡了通脹。若以零通脹作目標，令匯率波動太大，反而不利平穩物價。

或者，現在香港的民主黨人，以立即民主為目標，反而令中共有戒心。波闌的團結工會，是多少年的等待，終於成功了。不是說香港也要這麼久才有民主，但民主派人士要有個清淅可行的策略。

同理，加拿大的種族歧視，基本上壓下去了。反歧視立法是有一定作用，但種族主義者可以有不同的方法繞過這條法例。最有效的策略卻是吸納各地的移民，成為不可忽視的經濟和政治力量，令種族主義者為着自身利益也學會包容不同種族。

曾經有台灣人說：台獨是手段。目的是讓中共不敢胡來，兼送來一點甜頭。事實上急獨和急統都會適得其反。兩岸各自放棄急獨及急統，令民間往來帶來小陽春。將來，是那一個的策略較高明，是漸進式台獨，或漸進式統一？

最低公資是不可取的－－實施結果是商界及工人兩敗俱傷－－但以此作為逼迫商界的手段，卻也管用。從前，商界只懂用工運分子不理解的經濟理論抗辨；但自從多了支持最低工資的議員，商界開始提出「企業責任」或「公司助養」，以回應由低下層來的壓力。不過，這些策略遠遠不能抗衡這股壓力！

唉，天佑香港經濟！

螞蟻

螞蟻可以說是全球最先建設大都會的生物。由六千萬年前起便開始成立以女王為中心的國度，國民動軌逾百萬。

有些螞蟻懂得剪裁，用樹枼造穚造屋。有些螞蟻懂得耕種，種的是箘，可供食用。
有些螞蟻懂飛，有些螞蟻懂游。有些螞蟻只懂吃，成為其他螞蟻的奶媽。

螞蟻可以在任何環境，包括在水中或沙中，建立王國。螞蟻可以在短時間內改變一個地區的面貎，倚仗的是龐大的動員力。工具不是只鋒利的咀，也可以是有毒的化學品。

螞蟻社會是階級分明的，一出生便決定了未來地位。所有子民都聽聽話話，不存在背叛。

有些國度可以聯盟結成一個超級王朝。有些國度可以有超過一個女王。

螞蟻之間的戰爭可以非常慘烈。多數螞蟻會戰死，
有些螞蟻懂得詐死，躱避敵蟻。但也有的會成為俘擄，成為其他王國的工蟻。有些王國沒有俘擄是不能運作的。

愈說愈像人類社會。最相像的，是人間帝國與螞蟻王國的國民都喚作『蟻民』！

女人的歷史

猶太神話中第一對男女是亞當與夏娃。生物學中也有亞當與夏娃，被認為是所有人的祖先，但他倆卻不是配偶。

男人的Y染色體，是由父親傳下來的，從這條路住回走，會追溯到一個非洲男人，被稱為Y染色體亞當（Y-chromosomal Adam），生於６萬年前。女人的染色體，可由父或母傳下來，但細胞中的線粒體，多是從母親而來，從這條路住回走，會追溯到一個非洲女人，被稱為線粒體夏娃（Mitochondrial Eve），生於約十五萬年前。用現代標準來看，Y染色體亞當無可置疑是真正的人，但線粒體夏娃還可能只是個野人！

憑着線粒體的研究，可以得出一部生物學上女人的歷史，而這部女人歷史，是不是從線粒體夏娃開始的？

現存最古老的女性骸骨，是４百萬年前的lucy，不過她不是現代人的祖先，而且基本不是用兩條腿走路，近猿多於人。第一個女人，不知道是在那時出現，不過肯定不是線粒體夏娃。我們只知道夏娃同期女性的後代基本上都被淘汰了。既然如此，我們不妨讓這部歷史由夏娃開始。

據估計，夏娃時期，人類基本上是母系社會。隨着時間演進，泰半社會都轉成父系，但仍然有一些保留着母系社會特性，例如摩梭人。歷史上是否存在女人有絕對權力的國度？只有一個，就是傳說中生活於亞細亞的亞馬遜族，所有女人都是饒勇善戰的。

接下來的女人歷史，看來和男人歷史沒分別。事實上，也真的沒大分別。因為男人可以遺傳所有女人的基因。嘿，我從來都在說生物學上的歷史，不是說社會的歷史。

想測試自己基因，幫忙撰寫人類基因史，同時知道自己的老祖宗從何而來？可進入Genographic Project的網址

https://www3.nationalgeographic.com/genographic/index.html

不過要給錢的。

男人的歷史

有個笑話，說英文history是“his story”即“男人的歷史”，是有性別歧視的字。不過當真的，大部分歷史都是父權中心，這解釋似乎倒也沒錯。

第一個男人是誰？根據基督教的教義，這人的名字叫亞當。生物學家也相信現在所有男人，都有Y染色體只會由父傳子，從Y染色體的自然突變頻率，可以得出一部生理學上的男人歷史。這正是《國家地理雜誌》與IBM合作的Genographic Project的一部分。

那這部歷史是如何開始的呢？很多宗教或民間傳說，都有第一個男人。最有名的，是基督教的阿當，他和第一個女人夏娃有兩個兒子－－大兒子後來殺死了小兒子，被放逐，和不知從何而來的女人結婚。

進化論家怎說？

第一個『似人』的生物，是生活在600萬年前的「乍得人猿」（Sahelanthropus tchadensis），這當然不是人。現代人類，即「晚期智人」（Homo Sapiens Sapiens），估計在20萬年前出現。

大約5萬年前，一種有巧手工藝的文明出現，與此同期一種新的Y染色體變異產生。Genographic Project的主持人Spencer Wells認為兩者是有關係的。這個新的非洲男人，是所有男人的祖先，亦被稱為亞當（Y-chromosomal Adam）。這個非洲男人及他的子裔，憑着過人的才智，終於把其他的人種淘汰。這部男人歷史就是如此開始。

四海之內，皆兄弟也，最多只是隔了二千世代罷！

我們基本上已大約知道人類的遷移路徑，例如澳洲土箸是由印度大陸過去，第一代歐洲人是由中東過去等等。我們知道大約有1600萬人是成吉思汗皇族的後人。有興趣的，可閱讀Spencer Wells的《The Journey of Man: A Genetic Odyssey》。

Genographic Project，希望收集更多人的遺傳因子，從而為很多歷史或傳說的秘密（究竟腓利基人－第一套字母的創始者－的後人在那裡？哪些人是猶太失落的分支？），給出一點暗示。我在釋目以待！

索馬里的電訊業

去年十一月，BBC報導索馬里蓬勃的電訊業（http://news.bbc.co.uk/2/hi/africa/4020259.stm），顯示了在無政府的狀態下，自由經濟的威力。

沒有政府，不用交稅，不用牌照費，也沒有籠斷的國有電訊公司。結果是索馬里幾乎是全非洲電訊收費最便宜的地方。

公共交通設施在戰爭中被摧毁，但私人的港口及機場，令設備輸入仍而暢通。

銀行制度崩潰，但傳統的宗族力量，使交易可如常運行。

令人煩惱的保安問題，只是偶然的鼠竊狗偷，大軍閥不希望電話不通，倒與電訊公司互不干泄。

但有利，必有弊。被視為既有利益者的電訊老闆，也希望有政府，即使要交稅。為甚麼呢？

建全的銀行制度，成本效益及方便遠勝傳統的宗族系統。猶以向外國購買器材為甚。

破落的教育制度，要送職員到海外受訓，增加成本。

個人安全沒保障，如果可以量化的話，無政府狀態下的保安要極大成本。

還有一樣是報導沒有提及的，是在無政府狀態下，白紙黑字的法律被潛規則代替。掌握潛規則比掌握法律更難，這表示需要更大的無形成本！

所以政府的一個責任，是要減低交易成本，不管有形或無形的。

索馬里的不幸的，它還不斷受戰火摧殘；但不幸中之大幸，相對完備的電訊業，及海外的大量僑胞（近乎總人口的二成），令這國度不致成了讓人遺忘、沒有希望的國家。

據報導，那裡的電訊公司還打算引入3G。不知怎的，聽上去好像有點諷刺。

為『弱肉强食』平反

『弱肉强食』是甚麼？正確一點，是『弱者淘汰，强者留下』。

就如獅子吃岭羊：最弱的獅子捉不到獵物，因而餓死；最强的獅子捉到獵物，可以生存；最弱的岭羊逃不掉，因而被殺；最强的岭羊走掉了，可以生存。

就如超市與小商戶爭市場：不能因時制宜的小商戶，被受淘汰；有實力的小商戶（如我樓下街角的菜擋老闆），仍能笑傲江湖；經營不善的超市（如當年的華潤超市），逃不過結業；經營得法的超市，當然利潤豐厚。

就如大國和小國之爭：强大的大國吞併弱小的小國，是司空見慣；但强大的小國吞併弱小的大國，其實也不罕見，有名的是馬其頓統治希臘，或滿洲吞噬大明。

哪麼，『弱肉强食』有何不對？

答案：『弱肉强食』沒有甚麼不對，但也沒有甚麼對。『弱肉强食』只是一種現象，就如日出日落，沒有對或不對。

不知從甚麼時候開始，『弱肉强食』被看作是生物界的規則。但生物界其實只有一種規則：求存！『弱肉强食』是生物為求生所引致的現象。

除了『弱肉强食』外，還有很多生物界現象，包括『共生』、『分工』、『亂倫』、『弒夫』、『收飬』、『結盟』、『戰爭』、『偷盜』。

雖然人的社會行為或者可以用生物學解釋，但一種行為在生物界出現並不能成為被人類社會接受的籍口。

當然囉，一種行為並不在生物界出現亦不能成為不被人類社會接受的籍口。天曉得這行為是否只是未被發現而已！

我以為，『弱肉强食』對與不對，應是以其目的作準。其實，很多時候，反對『弱肉强食』的人，只是反對『利益極大化』而已－－證明是，他們往往反對大企業吞食小企業，但對小企業間的弱肉强食，卻視而不見！

從卵子融合到純女性世界

一個卵子有包含ｘ染色體的23條染色體。兩個卵子給合為一，就有包括ｘｘ的23對染色體，便成了一個完整的女性細胞。

當然現實並非如此簡單，但在2004年日本科學家成功把兩個老鼠卵子融合成一個細胞並製造出沒父親的老鼠後，似乎向『理想』邁進一步。（註１）

若卵子融合真的成功，女同性戀人可以有生理上兩人共同擁有的下一代，而且只會是女兒。現在的女同性戀社區仍雖要以「移民」來維持，將來可發展成一個自給自足的社區。

即使沒有卵子融合，複製人技術也可以帶來純女性社會，但由基因混雜而帶來的潛在好處卻會失去。

有人認為純女性世界將來一定會來臨。皆因有證據說ｙ染色體在過去千萬年在不斷縮短，若情況持續，終有一天ｙ染色體（即男性）會消失。

那麼，這個純女性世界，和現在有何分别？分別應該不大，甚至性別歧視依然存在－－雖然生物學定義的男性不復見，但從心理行為定義的男性仍然存在。

在《星空奇遇記續集》中，有一集談及一個單性世界。若然有些成員出現男性或女性傾向，便被視為精神異常，要接受治療。

在《龍球》中，撒亞人也是個單性世界。但因為所有撒亞人是由單一『父親』所出，社會結構近乎螞蟻，對『父親』絕對忠心。

亦曾有一套電視片（忘記了名字），說未來是個純女性世界，卻是倚靠上古冷藏的精子繁殖。即使成功誔下男孩，也會夭折。奇怪的是，所有女性都仍以現代的女性行為所標準！

各位朋友，你心目中的單性世界是怎樣的呢？（註２）

（註１）在google搜尋"fatherless mouse"會有更多資訊。
（註２）說的是沒有第二性的世界，並不是在兩性世界中的單性社區！

難與深

朋友說我近期寫的太難太深，這可是我的老毛病。

不過，這也是數學的問題。

我寫的，只算是現代數學基礎，但基礎不等於容易。

情形等於：化學的基礎在原子，物理的基礎在能量，經濟的基礎在交易資本。

科學之所以難，因為學習的起點是在中間出發，而不是由基礎結構開始。原因是基礎構不能通過感觀接觸了解。一個學術的基礎結構並不是該學術的基礎學問！

一個永恆的教育難題，是在甚麼時候開始教導教基礎結構。

數字是個遊戲

『數字是個遊戲。』誰人會說這樣的話？

一個見慣風浪，歷盡起跌的股壇老手？

一個不負責任，專個假賬的會計敗類？

一個腰纏萬貫，勝負等閒的商界巨賈？

一個強作瀟洒，生活平實的過氣富翁？

一個活動教學，負責數學的小學老師？

若通通不是，可能這人是個研究組合遊戲理論的數學家。

組合遊戲理論是研究純技術的博奕遊戲，例如圍棋、象棋、拿火柴遊戲。麻將、飛行棋、天九等不在其研究範圍；橋牌、鋤大弟、十三張等也不在其研究範圍－－因要猜對方手中的牌，也有運氣成分。數學家主要是研究二人博奕。

Ernst Zermelo (1871-1953) 率先證明所有二人博奕都應是早知結果的！要麼是先行者有必勝（應是不敗）策略，要麼是後行者有必勝方法，這當然視乎是何類遊戲。（見〔１〕）

約翰．康威（John H. Conway）提出了個有趣的定義：一個 (L|R) 是個遊戲如果 L 及 R 也是個遊戲－－這定義可用於尋找必勝策略。他與兩位重量級人物在著作《穩操勝券（上下冊）》（Winning Ways for your Mathematical Plays）有講述這定義的應用，這本書在一般書局有售。

若然限制 L < R（何謂大小，這不贅），就是超實數 surreal numbers，一種包含無限大及無窮小的數字系統！這個慨念是建基於Dedekind cuts，本來用於透過分數定義實數。

所以，『數字是個遊戲。』可是有真正數學意義的啊！

超越現實的數

不懂數學的人， 可能也會接受無限大及無窮小；反而對數學家，接受無限大及無窮小會有邏輯上的問題。

當Abraham Robinson成功創造出包含無限大和無窮小，且邏輯上可行的數字系統，在數學界產生頗大迴響。這系統是 hyperreal numbers。最簡單的解釋，系統內每個數其實是個數列－－7 是 (7,7,7,...) 而 -8 是 (-8,-8,...,-8)；無限大是不斷增大的數列，如 (1,2,3,4,...) 及 (1,3,5,7,...) 便是兩個無限大；無窮小是愈來愈接近０的數列，如 (1,1/2,1/3,1/4,...) 及 (1,0.1,0.01,0.001,...)便是兩個無窮小。當然還有其他理論上的限制。

稍後， John Horton Conway發明了另一套數字系統，也包含無限大和無窮小，產生的不是迴響，而是震撼！這系統是 surreal numbers。Conway 運用了載得金分割（Dedekind cuts）的意念，成功的把現代數學中多個不同的範疇（實數，序數，組合理論）連繫起來。很難三言兩語說明 Conway 的理論解釋，但可以說的是，他證明了『數字是個遊戲』！事實上，Conway 發展這理論真的是要研究一種遊戲－－我國的國技『圍棋』！！！

可能是遺撼，兩者的中文名稱都是超實數。還有另一個超實數 superreal numbers，是 hyperreal numbers 的再擴張。

某程度來說，日常生活中或許不會遇到這些數，超實數可謂名副其實；但從數學上而言，超實數與實數同樣真實。

虛與實，數系的發展

上古時，人只懂１，２，３，．．．－－這是他們的數。

然後，他們需要細分物件，於是出現分數，即兩數之比 a/b－－他們認為原先的１，２，３，．．．才是實在的數，現稱自然數。

然後，有些數量（例如某些長度），是不可以寫成分數－－他們（古希臘畢達哥拉斯學派）認為原先的分數才是實在的數，而新發現的數是假的數，傳說中他們甚至殺死Hippasus（第一個發現無理數的人）。分數的希臘文λογος ，意為「成比例的數」（rational number），中文錯譯為有理數，沒理由的數，但這與古希臘人的想法暗合。新發現的數，即「不成比例的數」（irrational number）被譯為無理數。

然後，在尋找多項式 a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ=0 的根，不可避免遇到負數的開方－－他們認為原先的數（不論有理數或無理數）才實在，是實數，而負數的開方是虛無的數，即虛數。實數與虛數相加，稱為複數。

但後來發現：複數 x+√-1 y 可看作平面上的一點 (x,y)，是個二元的數。由此看來，複數非常實在。

數學家開始放開虛實的迷思，得出四元數、八元數、p-進數、超實數、超複數。

但『數』是甚麼？在乎你需要甚麼！

虛（數）與實（數）

以下是兩個常見的數學謎語：

1.　背着喇叭；
2.　大夫診症；

謎底稍後揭曉。

在中學時期，我們知道 ax² +bx+c=0 的兩個解可表達成 (-b ± √ (b² -4ac))/2。

原來 ax³ +bx² +cx+d=0 的三個解也有一般表達式，最簡單的一個是


這個解在十六世紀時經已被發現，但卻出現了個問題：考慮 x³ -15x-4=0，它的所有答案是 -3.73, -0.26, 4。若用以上的算式，卻出現不知所謂的 √-109（用計算機試試，九成會送你一個 Error），這條算式似乎用不着！

數學家的解決方法很簡單，首先讓 √-109 = i √109 （這裡i=√-1），然後把i當作一般數字來計，最後所有i會相互抵消！但如 i √109 般的數，令人感覺虛無飄眇，故稱作『虛數』。

這時，人們倒過來說一般的數字是『實數』，即是實在的數。

但正如自然數並不比其他數自然¹，實數的『實』和虛數的『虛』相差其實不大。若考慮二維平面，實數與虛數只是橫軸與縱軸之分而已！

這平面稱作複平面，上面的每一點(x,y)代表着x+iy，喚作複數。由此，二維的數出現了，標誌着數字家族新的一頁。在複平面上，『任何複數都有平方根』（e.g. √-4 = 2i，√(2i)=1+i，√(3-4i)=2-i）²，並有着很多不可能在實數出現的特性。

謎語答案：1.　負號；2.　開方。

正數加上負號再開方，便是虛數！

註１：請參看《自然的數？》。
註２：開方只取“正值”，如√4＝2但4的平方根是 ±2，這兒 -4 的平方根是 ±2i，2i 的平方根是 ±(1+i)，3-4i 的平方根是 ±(2-i)。

天與地，大與小，冷與熱

『道可道，非常道；名可名，非常名。』－－這是《道德經》 的第一句，亦是最耳熟能詳的一句。我想說說：名可名，非常名。

若我們的祖先把「天」喚作「地」，而把「地」喚作「天」，那未現在便會是“地在上，天在下”了。相類的情況是，不同是事物，喚作一樣的名稱，如「天花」是指一種傳染病或是指屋頂底部，所以要清楚名字背後的意義。

原來，這是學生學習數學的一個大障礙！

名稱的改變：－

首先是代數，是以符號代數字，從而達到一般化的運用。卻出現明白3×(4+2)=3×4+3×2，卻不明白 x(y+z)=xy+xz。

然後是最優化，教了學生怎樣求得最大值，他們卻往往未能舉一反三地求出最小值。大與小，很多時只是換個名稱而已！

定義（含義）的不同：－

首先是關係，不同的場合，大小的定義可能完全不同。一般來說，我們會說 4>2>1>-3；但這並非絕對！

在玩橋牌的時候，我們有1>4>2；在玩“鋤大弟”的時候，我們知道 2>1>4。但若我們不提橋牌，不提鋤大弟，而只說 1>4>2 或 2>1>4，學生會頓時不知所措！！！

在物理學中，若以 K 為温度單位，負温度會比正温度為熱。若以>表示比較熱，則有-3>4>2>1！

然後是擴張，隨着認知深化，需要擴張定義符合實況。在初學複數時，學生仍會給舊認知 “沒有「數」的平方是負數” 所跘着，不理解「數」的定義已改變。

在高級代數書中，a1=a=1a並不單是表示數的乘法（a× 1=a=1× a），亦可表示數的加法（a+0=a=0+a），用意是把「乘法」擴張以覆蓋所有性質相近的運算，減省研究的重複性。可想而知，學生多數未能了解。

在中學物理學中，我們是以温度定義冷熱，但大學時，我們以能量流向定義冷熱。

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在文學中，「名」也有難題。在一些文化中，一個人往往有着不同的稱謂，或者一個家族不同人有相同的名稱，令記性不大好的人（如在下）難於閱讀相關傳記或小說！

例如，三國演義中，一人往往有着三個或以上的稱呼，如諸葛亮，字孔明，號臥龍先生；

又如世界首富比爾蓋茨（William Henry Gates III）的父親也是比爾蓋茨（William Henry Gates, Sr.）!

科學與文學中的「名」已這麼難掌握，更何況哲學中的「名」？

『熱』極必『冷』

當數線兩端相接，正的盡頭便是負，有中國哲理「物極必反」味道。

物理學上，也有一個古怪現象：若温度不斷提高，在超越無限高温後，温度會變成負數！看來也真有「『熱』極必『冷』」這回事！

但不要給字面騙了，負温度其實比正温度更“熱”！

科學家量度氣温，不是用攝氏 °C 或華氏 °F，而是用開爾文溫標 K。0 K，相當於 -273.15 °C，稱為絕對零度，是低温的極限，一切動能將會消失； 然後1 K = 1 °C，遂級而上，冰點是 273.15 K，太陽表面是 5780 K，太陽中心是 1.3 × 10⁶ K，黑洞温度是1.4×10³² K。

但甚麼是温度？有一個不太簡單的定義是：温度＝熵（混亂程度）的變化／能量的變化。一般而言，能量的增加會導致熵的增加，因而有正數的温度；但在某些狀況（最混亂時？），能量增加反而導致熵減少，所以出現負數的温度。

甚麼是冷熱？這是相對的，能量是由較熱處流向較冷處。因為能量會由負温度處流向正温度處，所以負温度比正温度更熱！

當然，我們仍可以用温度的高低來定義冷熱，我們仍可以說「『熱』極必『冷』」，但卻失去如能量流動般的重要物理意義。

無窮的小

恒古以來，人類便為着物質是無限可分，或有終極結構爭論不休。

古希臘的原子論認為物質是由最小稱為『原子』的東西構成。伴隨着現代化學的誔生，某程度上肯定了原子論。

但化學中的原子，物理學卻仍可分割下去，得出常見的電子、質子、中子，以及μ子、π子、W子、Ω子等等；超弦理論認為還可再分下去，直至達到所謂的超弦結構。

超弦是大小為普朗克單位（Planck units）的物理結構；而普朗克單位，被視為是測量的下限。在普朗克時間（5.39121 × 10^-44 s）及普朗克尺度（1.61624 × 10^-35 m）內，前與後、左與右亦沒有物理意義。

當前最heat的topic，即納米技術，是以納米（1 nm= 10^–9m）為基礎的技術，其實在物理學中不是太小。

普朗克尺度非常小，比佛家的“刹那”還要小，但始終是有限的小，不是『無窮小』。無窮小，是個大於零卻小於任可正數的量，給人難以捉摸的印象；事實上，當數學家最初使用無窮小時，亦困於其邏輯難關，但仍決定實用先行。

當時有名的思想家貝克箂主教對無窮小的應用，作出頗嚴厲的批判；稍後數學家找出方法，可以繞過無窮小，亦令無窮小的議論趨向沈寂。

上世紀中期，Abraham Robinson提出新的數學系統－－超實數系統（hyperreal numbers)，包含了不同的無限大及無窮小，而且解決了邏輯問題。但沒有無窮小的數學已是主流，新的數學被稱為『非標準分析學』。

在超實數系統中，0.999..... ≠ 1！！！兩數的相差，便是個無窮小。